Calcul de \(I = \int_{t=0}^{+\infty} e^{-t^2}\,d t\).
1
Justifier la convergence de cette intégrale.
2
Pour \(a > 0\) on note \(\Delta_a = [0,a] \times [0,a]\) et \(C_a\) le quart de disque d’équations : \(x^2+y^2 \le a^2\), \(x\ge0\), \(y\ge0\).
3
Encadrer l’intégrale sur \(\Delta_a\) de \(f(x,y) = e^{-x^2-y^2}\) par les intégrales de \(f\) sur des domaines du type \(C_b\).
4
Calculer \(\iint_{C_b}^{} f(x,y)\,d xd y\) en polaires et en déduire la valeur de \(I\).