Pour $x$ réel donné, la fonction $t\mapsto|t-x|f(t)$ est continue sur $[a,b]$ et donc $F(x)$ existe. Pour $x\leq a$ , $F(x)=\int_{a}^{b}(t-x)f(t)\;dt=-x\int_{a}^{b}f(t)\;dt+\int_{a}^{b}tf(t)\;dt$ . $F$ est donc de classe $C^1$ sur $]-\infty,a]$ en tant que fonction affine et, pour $x<a$ , $F'(x)=-\int_{a}^{b}f(t)\;dt$ (en particulier $F'_g(a)=-\int_{a}^{b}f(t)\;dt$ )..

De même, pour $x\geq b$ , $F(x)=x\int_{a}^{b}f(t)dt-\int_{a}^{b}tf(t)\;dt$ . $F$ est donc de classe $C^1$ sur $[b,+\infty[$ en tant que fonction affine et, pour $x\geq b$ , $F'(x)=\int_{a}^{b}f(t)\;dt$ (en particulier $F'_d(b)=\int_{a}^{b}f(t)\;dt$ ).

Enfin, si $a\leq x\leq b$ ,

$\begin{align*} F(x) &= \int_{a}^{x}(x-t)f(t)\;dt+\int_{x}^{b}(t-x)f(t)\;dt \\ &= x(\int_{a}^{x}f(t)\;dt-\int_{x}^{b}f(t)\;dt)-\int_{a}^{x}tf(t)\;dt+\int_{x}^{b}tf(t)\;dt. \end{align*}$

$F$ est donc de classe $C^1$ sur $[a,b]$ et, pour $a\leq x\leq b$ ,

$\begin{align*}\ensuremath F'(x)&=\int_{a}^{x}f(t)\;dt-\int_{x}^{b}f(t)\;dt+x(f(x)-(-f(x)))-xf(x)-xf(x)\\ &=\int_{a}^{x}f(t)dt-\int_{x}^{b}f(t)\;dt. \end{align*}$

(et en particulier, $F'_d(a)=-\int_{a}^{b}f(t)\;dt=F'_g(a)$ et $F'_g(b)=\int_{a}^{b}f(t)\;dt=F'_d(b)$ ).

$F$ est continue $]-\infty,a]$ , $[a,b]$ et $[b,+\infty[$ et donc sur $\Rr$ . $F$ est de classe $C^1$ sur $]-\infty,a]$ , $[a,b]$ et $[b,+\infty[$ . De plus, $F'_g(a)=F'_d(a)$ et $F'_g(b)=F'_d(b)$ . $F$ est donc de classe $C^1$ sur $\Rr$ .

exo7 5453