Soit \(P\in \C[X]\) de degré \(n\ge 1\). Le but de cet exercice est de prouver que \(P\) admet une racine dans \(\C\). On suppose au contraire que \(P\) ne s’annule pas et on considère pour \(r \ge 0\), \(\theta\in{[0,2\pi]}\) : \(f(r,\theta) = \frac{r^ne^{in\theta}}{P(re^{i\theta})}\) et \(F(r) = \int_{\theta=0}^{2\pi} f(r,\theta)\, d\theta\).
1
Montrer que \(F\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \([0,+\infty[\).
2
Vérifier que \(ir \frac{\partial f}{\partial r} = \frac{\partial f}{\partial \theta}\). En déduire que \(F\) est constante.
3
Obtenir une contradiction.