Soit \((G,\cdot )\) un groupe. On appelle commutateur un élément de la forme \(xyx^{-1}y^{-1}\). On note \([x,y]:=xyx^{-1}y^{-1}\).
1
Montrer que l’ensemble \(G'=[G,G]\) des produits de commutateurs est un sous-groupe distingué de \(G\). Montrer que \(G/G'\) est un groupe abélien. En particulier cela implique que \(G'=\{e \}\Leftrightarrow G\) abélien.
2
Soit \(N \vartriangleleft G\) tel que \(G/N\) est abélien. Montrer que \(G'\subset N\).
3
Trouver \(G'\) pour \(G=S_3,\; A_5,\; S_5\).
4
Montrer que si \(\phi :G\to A\) est un morphisme de \(G\) à un groupe abélien \(A\), alors il existe un morphisme \(\psi :G/G' \to A\) tel que \(\phi = \psi \circ \pi\), où \(\pi : G \to G/G'\) est la projection canonique.