Existence de $F(x)=\int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-tx}}{1+t^2}\;dt$ . Soit $x>0$ . La fonction $t\mapsto \frac{e^{-tx}}{1+t^2}\;dt$ est continue sur $[0,+\infty[$ et est dominée par $\frac{1}{t^2}$ quand $t$ tend vers $+\infty$ . Donc la fonction $t\mapsto \frac{e^{-tx}}{1+t^2}\;dt$ est intégrable sur $[0,+\infty[$ . On en déduit que

$F$ est définie sur $]0,+\infty[$ .

Dérivées de $F$ . Soient $a>0$ puis $\begin{array}{cccc} \Phi~:&[a,+\infty[\times[0,+\infty[&\rightarrow&\Rr\\ &(x,t)&\mapsto& \frac{e^{-tx}}{1+t^2} \end{array}$ .

Pour tout réel $x\in[a,+\infty[$ , la fonction $t\mapsto\Phi(x,t)$ est continue et intégrable sur $[0,+\infty[$ .

La fonction $\Phi$ admet sur $[a,+\infty[\times[0,+\infty[$ des dérivées partielles d’ordre $1$ et $2$ par rapport à sa première variable $x$ et pour tout $(x,t)\in[a,+\infty[\times[0,+\infty[$

$\frac{\partial \Phi}{\partial x}(x,t)=- \frac{te^{-tx}}{1+t^2}$ et $\frac{\partial^2\Phi}{\partial x^2}(x,t)= \frac{t^2e^{-tx}}{1+t^2}$ .

De plus

- pour tout $x\in[a,+\infty[$ , les fonctions $t\mapsto \frac{\partial \Phi}{\partial x}(x,t)$ et $t\mapsto \frac{\partial^2\Phi}{\partial x^2}(x,t)$ sont continues par morceaux sur $[0,+\infty[$ .

- pour tout $t\in[0,+\infty[$ , les fonctions $x\mapsto \frac{\partial \Phi}{\partial x}(x,t)$ et $x\mapsto \frac{\partial^2\Phi}{\partial x^2}(x,t)$ sont continues sur $[0,+\infty[$ .

- pour tout $(x,t)\in[a,+\infty[\times[0,+\infty[$ , $\left| \frac{\partial \Phi}{\partial x}(x,t)\right|\leqslant \frac{te^{-ta}}{1+t^2}=\varphi_1(t)$ et $\left| \frac{\partial^2\Phi}{\partial x^2}(x,t)\right|\leqslant \frac{t^2e^{-ta}}{1+t^2}=\varphi_2(t)$ où les fonctions

$\varphi_1$ et $\varphi_2$ sont continues par morceaux et intégrables sur $[0,+\infty[$ car sont dominées en $+\infty$ par $\frac{1}{t^2}$ .

D’après le théorème de dérivation des intégrales à paramètres (théorème de Leibniz), $F$ est deux fois dérivable sur $[a,+\infty[$ et les dérivées de $F$ s’obtiennent par dérivation sous le signe somme. Ceci étant vrai pour tout réel $a>0$ , $F$ est deux fois dérivable sur $]0,+\infty[$ et pour $x>0$ , $F''(x)=\int_{0}^{+\infty} \frac{\partial^2F}{\partial x^2} \frac{e^{-tx}}{1+t^2}\;dt=\int_{0}^{+\infty} \frac{t^2e^{-tx}}{1+t^2}\;dt$ .

$\forall x>0$ , $F''(x)=\int_{0}^{+\infty} \frac{t^2e^{-tx}}{1+t^2}\;dt$ .

Equation différentielle vérifiée par $F$ . Pour $x>0$ , $F''(x)+F(x)=\int_{0}^{+\infty}e^{-tx}\;dt=\left[- \frac{1}{x}e^{-tx}\right]_0^{+\infty}= \frac{1}{x}$ .

$\forall x>0$ , $F''(x)+F(x)= \frac{1}{x}$ .

Existence de $G(x)=\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin t}{t+x}\;dt$ . Soit $a>0$ . Montrons l’existence de $\int_{a}^{+\infty} \frac{\sin u}{u}\;du$ et $\int_{a}^{+\infty} \frac{\cos u}{u}\;du$ .

Soit $A>a$ . Une intégration par parties fournit $\int_{a}^{A} \frac{\sin u}{u}\;du=- \frac{\cos a}{a}+ \frac{\cos A}{A}-\int_{a}^{A} \frac{\cos u}{u^2}\;du$ . Puisque $\left| \frac{\cos A}{A}\right|\leqslant \frac{1}{A}$ , on a $\lim_{A \rightarrow +\infty} \frac{\cos A}{A}=0$ . D’autre part, puisque $\forall u\geqslant a$ , $\left| \frac{\cos u}{u^2}\right|\leqslant \frac{1}{u^2}$ , la fonction $u\mapsto \frac{\cos u}{u^2}$ est intégrable sur $[a,+\infty[$ et en particulier, $\int_{a}^{A} \frac{\cos u}{u^2}\;du$ a une limite quand $A$ tend vers $+\infty$ . On en déduit que $\int_{a}^{A} \frac{\sin u}{u}\;du$ a une limite quand $A$ tend vers $+\infty$ ou encore que l’intégrale $\int_{a}^{+\infty} \frac{\sin u}{u}\;du$ converge en $+\infty$ . De même, $\int_{a}^{+\infty} \frac{\cos u}{u}\;du$ converge en $+\infty$ .

Mais alors, pour $x>0$ ,

$\cos x\int_{x}^{+\infty} \frac{\sin u}{u}\;du-\sin x\int_{x}^{+\infty} \frac{\cos u}{u}\;du=\int_{x}^{+\infty} \frac{\sin(u-x)}{u}\;du=\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin t}{t+x}\;dt=G(x)$ existe.

$G$ est définie sur $]0,+\infty[$ .

Equation différentielle vérifiée par $G$ . Puisque la fonction $u\mapsto \frac{\sin u}{u}$ est continue sur $]0,+\infty[$ , la fonction $x\mapsto\int_{x}^{+\infty} \frac{\sin u}{u}\;du=\int_{1}^{+\infty} \frac{\sin u}{u}\;du-\int_{1}^{x} \frac{\sin u}{u}\;du$ est de classe $C^1$ sur $]0,+\infty[$ . De même, la fonction $x\mapsto\int_{x}^{+\infty} \frac{\cos u}{u}\;du$ est de classe $C^1$ sur $]0,+\infty[$ puis $G$ est de classe $C^1$ sur $]0,+\infty[$ . De plus, pour tout réel $x>0$ ,

$G'(x)=-\sin x\int_{x}^{+\infty} \frac{\sin u}{u}\;du- \frac{\cos x\sin x}{x}-\cos x\int_{x}^{+\infty} \frac{\cos u}{u}\;du+ \frac{\cos x\sin x}{x}=-\sin x\int_{x}^{+\infty} \frac{\sin u}{u}\;du-\cos x\int_{x}^{+\infty} \frac{\cos u}{u}\;du$ ,

puis en redérivant

$G''(x)=-\cos x\int_{x}^{+\infty} \frac{\sin u}{u}\;du+ \frac{\sin^2x}{x}+\sin x\int_{x}^{+\infty} \frac{\cos u}{u}\;du+ \frac{\cos^2x}{x}=-G(x)+ \frac{1}{x}$ .

$\forall x>0$ , $G''(x)+G(x)= \frac{1}{x}$ .

Limites de $F$ et $G$ en $+\infty$ . Puisque $\int_{1}^{+\infty} \frac{\sin u}{u}\;du$ et $\int_{1}^{+\infty} \frac{\cos u}{u}\;du$ sont deux intégrales convergentes, $\lim_{x \rightarrow +\infty}\int_{x}^{+\infty} \frac{\sin u}{u}\;du=\lim_{x \rightarrow +\infty}\int_{x}^{+\infty} \frac{\cos u}{u}\;du=0$ . Puisque les fonctions sinus et cosinus sont bornées sur $\Rr$ . On en déduit que $\lim_{x \rightarrow +\infty}G(x)=0$ .

Pour tout réel $x>0$ , $|F(x)|=\int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-tx}}{1+t^2}\;dt\leqslant\int_{0}^{+\infty}e^{-tx}\;dt= \frac{1}{x}$ et donc $\lim_{x \rightarrow +\infty}F(x)=0$ .

$\lim_{x \rightarrow +\infty}F(x)=\lim_{x \rightarrow +\infty}G(x)=0$ .

Egalité de $F$ et $G$ . D’après ce qui précède, $(F-G)''+(F-G)=0$ et donc il existe $(\lambda,\mu)\in\Rr^2$ tel que pour tout $x>0$ , $F(x)-G(x)=\lambda\cos x+\mu\sin x$ . Si $(\lambda,\mu)\neq(0,0)$ , alors $\lambda\cos x+\mu\sin x=\sqrt{\lambda^2+\mu^2}\cos(x-x_0)$ ne tend pas vers $0$ quand $x$ tend vers $+\infty$ . Puisque $\lim_{x \rightarrow +\infty}F(x)-G(x)=0$ , on a nécessairement $\lambda=\mu=0$ et donc $F-G=0$ . On a montré que

$\forall x>0$ , $\int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-tx}}{1+t^2}\;dt=\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin t}{t+x}\;dt$ .

Remarque. On peut montrer que l’égalité persiste quand $x=0$ (par continuité) et on obtient $\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin t}{t}\;dt= \frac{\pi}{2}$ .

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