Les deux racines carrées de $z=1=e^{i .0}$ sont $z_k=e^{i \cdot \frac{0}{2}+i k \pi} \quad k \in\{0 ; 1\}$ , c’est-à-dire : $z_0=e^{i .0}=1$ et $z_1=e^{i . \pi}=-1$ ;
Les deux racines carrées de $z=i=e^{i \cdot \frac{\pi}{2}}$ sont $z_k=e^{i \cdot \frac{\pi}{4}+i k \pi} \quad k \in\{0 ; 1\}$ , c’est-à-dire $: z_0=e^{i \cdot \frac{\pi}{4}}$ et $z_1=e^{i \frac{\pi}{4}+i \pi}=e^{i \cdot \frac{5 \pi}{4}}$
Les deux racines carrées de $z=3+4 i=a+i b$ sont $z_1=x+i y$ et $z_2=-x$ -iy telles que : $(x+i y)^2=x^2-y^2+2 i x y=3+4 i \quad$ et $\quad|x+i y|^2=|3+4 i| \Leftrightarrow x^2+y^2=\sqrt{3^2+4^2}=5$ . Résolvons : $\left\{\begin{array} { r l } { x ^ { 2 } - y ^ { 2 } } & { = 3 } \\ { 2 x y } & { = 4 > 0 } \\ { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } & { = 5 } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x^2=\frac{3+5}{2}=4 \\ y^2=\frac{5-3}{2}=1 \\ x y>0 \end{array}\right.\right.$ Les deux carrées de $z=3+4 i$ sont donc $z_1=2+i$ et $z_1=-2-i$ .
Les deux racines carrées de $z=8-6 i=a+i b$ sont $z_1=x+i y$ et $z_2=-x-i y$ telles que : $(x+i y)^2=x^2-y^2+2 i x y=8-6 i \quad$ et $\quad|x+i y|^2=|8-6 i| \Leftrightarrow x^2+y^2=\sqrt{8^2+6^2}=10$ . Résolvons : $\left\{\begin{array} { r l } { x ^ { 2 } - y ^ { 2 } } & { = 8 } \\ { 2 x y } & { = - 6 < 0 } \\ { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } & { = 1 0 } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x^2=\frac{8+10}{2}=9 \\ y^2=\frac{10-8}{2}=1 \\ x y<0 \end{array}\right.\right.$ Les deux carrées de $z=8-6 i$ sont donc $z_1=3-i$ et $z_1=-3+i$ .
$7+24 i$ Les deux racines carrées de $z=7+24 i=a+i b$ sont $z_1=x+i y$ et $z_2=-x-i y$ telles que : $(x+i y)^2=x^2-y^2+2 i x y=7+24 i$ et : $|x+i y|^2=|7+24 i| \Leftrightarrow x^2+y^2=\sqrt{7^2+24^2}=25 .$ Résolvons : $\left\{\begin{array} { r l } { x ^ { 2 } - y ^ { 2 } } & { = 7 } \\ { 2 x y } & { = 2 4 < 0 } \\ { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } & { = 2 5 } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{rl} x^2=\frac{7+25}{2}=16 \\ y^2=\frac{25-7}{2}=9 \\ x y>0 \end{array}\right.\right.$ Les deux carrées de $z=7+24 i$ sont donc $z_1=4+3 i$ et $z_1=-4-3 i$ .

Racines de nombres complexes