Pour $p = 0$ : $u_n = \frac{ 1! + 2! + \cdots + n! }{ n! } = 1 + \frac{ 1! + 2! + \cdots + (n-1)! }{ n! } > 1$ $u_n$ ne tend pas vers $0$ donc, $\sum u_n$ diverge grossièrement pour $p=0$ .
Pour $p = 1$ : $u_n = \frac{1}{ (n+1)! } + \frac{2!}{ (n+1)! } + \cdots + \frac{ (n-1)! }{ (n+1)! } + \frac{n!}{ (n+1)! }$ $u_n \geq \frac{n!}{ (n+1)! } = \frac{1}{ n + 1 } \cdotp$ Or $\sum \frac{1}{n + 1}$ diverge, donc $\sum u_n$ diverge pour $p = 1$ .
Pour $p = 2$ : $u_n = \frac{1}{ (n+2)! } + \frac{2!}{ (n+2)! } + \cdots + \frac{ (n-1)! }{ (n+2)! } + \frac{n!}{ (n+2)! }$ On serait tenté de dire que l’on a une somme de séries convergentes, donc $\sum u_n$ converge. Pas de chance, le nombre de terme croît en fonction de $n$ , donc à l’infini, on en a une infinité et on ne peut rien conclure. $u_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{k!}{ (n + 2)!} = \sum_{k=1}^{n-1} \frac{k!}{(n + 2)!} + \frac{n!}{(n + 2)!} \leq \frac{n (n - 1)!}{(n + 2)!} + \frac{n!}{(n + 2)!}$ $u_n \leq 2\frac{n!}{(n + 2)!} = \frac{2}{(n + 1)(n + 2)} \sim \frac{2}{n^2}$ Or $\sum \frac{1}{n^2}$ converge, donc $\sum u_n$ converge pour $p = 2$ .
Pour $p \geq 3$ : $u_n = \frac{ 1! + 2! + \cdots + n! }{( n + p)! } \leq \frac{ n \, n! }{ (n + p)! } = \frac{ n \, n! }{n! (n+1) \cdots (n+p) }$ En simplifiant par $n!$ et en posant $u_n \leq \frac{ n }{ (n+1) \cdots (n+p)}$ et $\frac{ n }{ (n+1) \cdots (n+p)} \thicksim \frac{n}{n^p} = \frac{1}{n^{p - 1}} \text{ avec } p \geq 3$ Or $\sum \frac{1}{n^{p - 1}}$ est une série de Riemann convergente car $p-1 \geq 2$ , donc $\sum u_n$ converge pour $p \geq 3$ .

Note: on peut aussi remarquer que $u_n$ (quand $p\geq3$ ) est majoré par $u_n$ (quand $p=2$ ), or ce dernier est convergent.

(Corrigé de Eugène Ndiaye)

exo7 1937