Pour \(p = 0\): \[u_n = \frac{ 1! + 2! + \cdots + n! }{ n! } = 1 + \frac{ 1! + 2! + \cdots + (n-1)! }{ n! } > 1\] \(u_n\) ne tend pas vers \(0\) donc, \(\sum u_n\) diverge grossièrement pour \(p=0\).
Pour \(p = 1\): \[u_n = \frac{1}{ (n+1)! } + \frac{2!}{ (n+1)! } + \cdots + \frac{ (n-1)! }{ (n+1)! } + \frac{n!}{ (n+1)! }\] \[u_n \geq \frac{n!}{ (n+1)! } = \frac{1}{ n + 1 } \cdotp\] Or \(\sum \frac{1}{n + 1}\) diverge, donc \(\sum u_n\) diverge pour \(p = 1\) .
Pour \(p = 2\): \[u_n = \frac{1}{ (n+2)! } + \frac{2!}{ (n+2)! } + \cdots + \frac{ (n-1)! }{ (n+2)! } + \frac{n!}{ (n+2)! }\] On serait tenté de dire que l’on a une somme de séries convergentes, donc \(\sum u_n\) converge. Pas de chance, le nombre de terme croît en fonction de \(n\), donc à l’infini, on en a une infinité et on ne peut rien conclure. \[u_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{k!}{ (n + 2)!} = \sum_{k=1}^{n-1} \frac{k!}{(n + 2)!} + \frac{n!}{(n + 2)!} \leq \frac{n (n - 1)!}{(n + 2)!} + \frac{n!}{(n + 2)!}\] \[u_n \leq 2\frac{n!}{(n + 2)!} = \frac{2}{(n + 1)(n + 2)} \sim \frac{2}{n^2}\] Or \(\sum \frac{1}{n^2}\) converge, donc \(\sum u_n\) converge pour \(p = 2\).
Pour \(p \geq 3\): \[u_n = \frac{ 1! + 2! + \cdots + n! }{( n + p)! } \leq \frac{ n \, n! }{ (n + p)! } = \frac{ n \, n! }{n! (n+1) \cdots (n+p) }\] En simplifiant par \(n!\) et en posant \(u_n \leq \frac{ n }{ (n+1) \cdots (n+p)}\) et \[\frac{ n }{ (n+1) \cdots (n+p)} \thicksim \frac{n}{n^p} = \frac{1}{n^{p - 1}} \text{ avec } p \geq 3\] Or \(\sum \frac{1}{n^{p - 1}}\) est une série de Riemann convergente car \(p-1 \geq 2\), donc \(\sum u_n\) converge pour \(p \geq 3\).

Note: on peut aussi remarquer que \(u_n\) (quand \(p\geq3\)) est majoré par \(u_n\) (quand \(p=2\)), or ce dernier est convergent.

(Corrigé de Eugène Ndiaye)

exo7 1937