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Déterminer le centre de $SL(4,\mathbb{F}_2)$ et calculer l’ordre de $PSL(4,\mathbb{F}_2)$.

Dans $SL(4,\mathbb{F}_2)$ déterminer l’ordre de $$A=\left[\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&1\\0&0&0&1 \end{array}\right] \textrm{ et de } B=\left[\begin{array}{cccc}1&1&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&1\\0&0&0&1 \end{array}\right]$$ Ces deux matrices sont-elles conjuguées dans $SL(4,\mathbb{F}_2)$ ?

Déterminer le centre de $SL(3,\mathbb{F}_4)$ et calculer l’ordre de $PSL(3,\mathbb{F}_4)$.

Le but de cette question est de montrer que toutes les involutions de $PSL(3,\mathbb{F}_4)$ sont des applications projectives associées à des transvections. Soit $F$ une homographie de $PSL(3,\mathbb{F}_4)$ involutive (i.e. $F^2=Id\in PSL(3,\mathbb{F}_4)$) et $f\in SL(3,\mathbb{F}_4)$ telle que $P(f)=F$.

Montrer que $P(f^3)=F$ et que $f^3$ est d’ordre $2$ dans $SL(3,\mathbb{F}_4)$. On notera $g=f^3$.

Quelle est la caractéristique de $\mathbb{F}_4$ ? Montrer que $(g-Id)^2=0$. Déterminer $\dim Ker(g-Id)$ et $\dim Im(g-Id)$.

Conclure.