Déterminer le centre de \(SL(4,\mathbb{F}_2)\) et calculer l’ordre de \(PSL(4,\mathbb{F}_2)\).
Dans \(SL(4,\mathbb{F}_2)\) déterminer l’ordre de \[A=\left[\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&1\\0&0&0&1 \end{array}\right] \textrm{ et de } B=\left[\begin{array}{cccc}1&1&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&1\\0&0&0&1 \end{array}\right]\] Ces deux matrices sont-elles conjuguées dans \(SL(4,\mathbb{F}_2)\) ?
Déterminer le centre de \(SL(3,\mathbb{F}_4)\) et calculer l’ordre de \(PSL(3,\mathbb{F}_4)\).
Le but de cette question est de montrer que toutes les involutions de \(PSL(3,\mathbb{F}_4)\) sont des applications projectives associées à des transvections. Soit \(F\) une homographie de \(PSL(3,\mathbb{F}_4)\) involutive (i.e. \(F^2=Id\in PSL(3,\mathbb{F}_4)\)) et \(f\in SL(3,\mathbb{F}_4)\) telle que \(P(f)=F\).
Montrer que \(P(f^3)=F\) et que \(f^3\) est d’ordre \(2\) dans \(SL(3,\mathbb{F}_4)\). On notera \(g=f^3\).
Quelle est la caractéristique de \(\mathbb{F}_4\) ? Montrer que \((g-Id)^2=0\). Déterminer \(\dim Ker(g-Id)\) et \(\dim Im(g-Id)\).
Conclure.