Soit \(V\) un \(\R\)-espace vectoriel de dimension finie et \(GL(V)\) le groupe des automorphismes linéaires. Pour \(f\in GL(V)\) et \(a\in V\) on considère l’application \(A_{f,a}:V\to V,\; A_{f,a}(v)=f(v)+a\).
1
Montrer que \({\mathcal{A}}:=\{A_{f,a}\mid f\in GL(V),\; a\in V \}\) muni de l’opération de composition est un groupe. Ce groupe s’appelle le groupe des transformations affines.
2
[q:2] Trouver deux sous-groupes de \({\mathcal{A}}\) isomorphes à \((GL(V),\cdot)\) et à \((V,+)\), respectivement.
3
Montrer que \({\mathcal{A}}\) est produit semi-direct des deux sous-groupes obtenus dans [q:2].