On construit différentes méthodes de Monte Carlo afin de donner une valeur approchée de \(\frac{\pi}{4}\). Afin de les comparer, on donnera la variance de l’estimation sous la forme \(\frac{C}{n}\) où \(n\) est la taille de l’échantillon. On souhaite avoir la variance la plus faible possible.
On considère le carré \([0;1]^2\) et on note \(D\) le quart de disque centré en \(0\) et de rayon \(1\) : \[D = \{(x,y) \in \R_+^2 \, , \, x^2 + y^2 \leq 1\}\]
L’aire de \(D\) vaut \(\frac{\pi}{4}\).
Soit \((X_i,Y_i)\) une suite de couples variables aléatoires indépendantes, identiquement distribuées selon une loi uniforme sur \([0;1]^2\). Pour tout entier \(i \geq 1\), on pose \[Z_i = \textbf{1}_{(X_i,Y_i) \in D}\]
Ainsi, les variables \((Z_i)_{i \geq 1}\) sont indépendantes.
Déterminer la loi de \(Z_1\) et en déduire que \(\mathbb{E}(Z_1) = \frac{\pi}{4}\).
Soit \(n \in \N^*\), on pose : \[T_n^{(1)} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} Z_i\] Justifier que \(T_n^{(1)}\) est un estimateur sans biais de \(\frac{\pi}{4}\).
Justifier que la suite de variables aléatoires \(\left(T_n^{(1)}\right)_{n \geq 1}\) converge presque sûrement vers \(\frac{\pi}{4}\) lorsque \(n\) tend vers l’infini.
Montrer qu’il existe \(C^{(1)} \in \R\) tel que \(\V\left(T_n^{(1)}\right) = \frac{C^{(1)}}{n}\) et donner une valeur numérique approchée de \(C^{(1)}\) à \(10^{-4}\).
On définit une fonction \(g \colon [0;1] \to [0;+\infty[\) par : \[g(x) = \sqrt{1-x^2}\]
Soit \((U_i)\) une suite de variables aléatoires indépendantes, identiquement distribuées selon une loi uniforme sur \([0;1]\).
Justifier que \(\E(g(U_1)) = \frac{\pi}{4}\).
En déduire une suite de variables aléatoires convergeant presque sûrement vers \(\frac{\pi}{4}\).
Soit \(n \in \N^*\), on pose : \[T_n^{(2)} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} g(U_i)\]
Montrer qu’il existe \(C^{(2)} \in \R\) tel que \(\V\left(T_n^{(2)}\right) = \frac{C^{(2)}}{n}\) et donner une valeur numérique approchée de \(C^{(2)}\) à \(10^{-4}\).
Comparer les deux techniques d’approximation présentées ici.