Il est immédiat que $u$ croit strictement et que $v-u$ est strictement positive et tend vers $0$ . De plus, pour $n$ entier naturel donné,

$\begin{align*} v_{n+1}-v_n &= \frac{1}{(n+1)!}+\frac{1}{(n+1)\times(n+1)!}-\frac{1}{n\times n!} \\ &= \frac{n(n+1)+n-(n+1)^2}{n(n+1)\times(n+1)!} \\ &= \frac{-1}{n(n+1)\times(n+1)!} \\ &< 0, \end{align*}$ et la suite $v$ est strictement décroissante. Les suites $u$ et $v$ sont donc adjacentes et convergent vers une limite commune (à savoir $e$ ).

(Remarque. Dans ce cas, la convergence est très rapide. On a pour tout entier naturel non nul $n$ , $\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}<e<\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}+\frac{1}{n\times n!}$ et $n=5$ fournit par exemple $2,716...<e<2,718...$ ).

exo7 5237