Soient \(n\geq2\) et \(X_1,\ldots,X_n\) indépendantes et identiquement distribuées, d’espérance finie \(\mu\) et de variance finie \(\sigma^2>0\). On pose \[T_1=\frac1n\sum_{i=1}^nX_i,\qquad T_2=\frac1{n-1}\sum_{i=1}^nX_i,\qquad T_3=X_1.\]
Rappeler les définitions d’un estimateur sans biais et d’un estimateur convergent.
Les trois estimateurs \(T_1\), \(T_2\) et \(T_3\) sont-ils des estimateurs sans biais de \(\mu\) ? Justifier.
Calculer la variance de chacun des trois estimateurs.
Parmi les estimateurs sans biais de \(\mu\) proposés, lequel est le plus efficace ? Justifier.
On définit l’erreur quadratique moyenne (EQM) d’un estimateur \(\widehat{\Theta}\) de \(\theta\) par : \[\text{EQM}(\widehat{\Theta}) = \mathbb E\left[(\widehat{\Theta} - \theta)^2\right]\] Montrer que \(\text{EQM}(\widehat{\Theta}) = \text{Var}(\widehat{\Theta}) + b^2(\widehat{\Theta})\) où \(b(\widehat{\Theta}) = \mathbb E(\widehat{\Theta}) - \theta\) est le biais.
Calculer l’erreur quadratique moyenne de chacun des trois estimateurs. Quel est le meilleur estimateur de \(\mu\) au sens de l’EQM ?