Donnons tout d’abord une expression plus explicite de $f(x)$ pour chaque réel $x$ .

Si $x>1$ , alors $\frac{1}{x}\in]0,1[$ et donc, $f(x)=0$ .

Si $\exists p\in\Nn^*/\;x\in]\frac{1}{p+1},\frac{1}{p}],\;f(x)=px$ .

$f(0)=1$ (et plus généralement, $\forall p\in\Zz^*,\;f(\frac{1}{p})=1)$ .

Si $x\leq-1$ , alors $\frac{1}{x}\in[-1,0[$ et donc, $f(x)=-x$ .

Enfin, si $\exists p\in\Zz^\setminus\{-1\}$ tel que $x\in]\frac{1}{p+1},\frac{1}{p}]$ , alors $\frac{1}{p+1}<x\leq\frac{1}{p}(<0)$ fournit, par décroissance de la fonction $x\mapsto\frac{1}{x}$ sur $]-\infty,0[$ , $p\leq\frac{1}{x}<p+1(<0)$ et donc $f(x)=px$ .

Etude en $0$ . $\forall x\in\Rr^*,\;\frac{1}{x}-1<E(\frac{1}{x})\leq\frac{1}{x}$ et donc $1-x<f(x)\leq1$ si $x>0$ et $1\leq f(x)<1-x$ si $x<0$ . Par suite,

$\forall x\in\Rr,\;|f(x)-1\leq|x|,$

et $\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=1$ . $f$ est donc continue en $0$ .

$f$ est affine sur chaque intervalle de la forme $]\frac{1}{p+1},\frac{1}{p}]$ pour $p$ élément de $\Zz\setminus\{-1,0\}$ et donc est continue sur ces intervalles et en particulier continue à gauche en chaque $\frac{1}{p}$ . $f$ est affine sur $]-\infty,-1]$ et aussi sur $]1,+\infty[$ et est donc continue sur ces intervalles. Il reste donc à analyser la continuité à droite en $\frac{1}{p}$ , pour $p$ entier relatif non nul donné. Mais,

$f(\frac{1}{p}^+)=\lim_{x \rightarrow\frac{1}{p},\;x>\frac{1}{p}}(x(p-1))=1-\frac{1}{p}\neq 1=f(\frac{1}{p}).$

$f$ est donc discontinue à droite en tout $\frac{1}{p}$ où $p$ est un entier relatif non nul donné.

Graphe de $f$ :

\[\]

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