Donnons tout d’abord une expression plus explicite de \(f(x)\) pour chaque réel \(x\).

Si \(x>1\), alors \(\frac{1}{x}\in]0,1[\) et donc, \(f(x)=0\).

Si \(\exists p\in\Nn^*/\;x\in]\frac{1}{p+1},\frac{1}{p}],\;f(x)=px\).

\(f(0)=1\) (et plus généralement, \(\forall p\in\Zz^*,\;f(\frac{1}{p})=1)\).

Si \(x\leq-1\), alors \(\frac{1}{x}\in[-1,0[\) et donc, \(f(x)=-x\).

Enfin, si \(\exists p\in\Zz^\setminus\{-1\}\) tel que \(x\in]\frac{1}{p+1},\frac{1}{p}]\), alors \(\frac{1}{p+1}<x\leq\frac{1}{p}(<0)\) fournit, par décroissance de la fonction \(x\mapsto\frac{1}{x}\) sur \(]-\infty,0[\), \(p\leq\frac{1}{x}<p+1(<0)\) et donc \(f(x)=px\).

Etude en \(0\). \(\forall x\in\Rr^*,\;\frac{1}{x}-1<E(\frac{1}{x})\leq\frac{1}{x}\) et donc \(1-x<f(x)\leq1\) si \(x>0\) et \(1\leq f(x)<1-x\) si \(x<0\). Par suite,

\[\forall x\in\Rr,\;|f(x)-1\leq|x|,\]

et \(\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=1\). \(f\) est donc continue en \(0\).

\(f\) est affine sur chaque intervalle de la forme \(]\frac{1}{p+1},\frac{1}{p}]\) pour \(p\) élément de \(\Zz\setminus\{-1,0\}\) et donc est continue sur ces intervalles et en particulier continue à gauche en chaque \(\frac{1}{p}\). \(f\) est affine sur \(]-\infty,-1]\) et aussi sur \(]1,+\infty[\) et est donc continue sur ces intervalles. Il reste donc à analyser la continuité à droite en \(\frac{1}{p}\), pour \(p\) entier relatif non nul donné. Mais,

\[f(\frac{1}{p}^+)=\lim_{x \rightarrow\frac{1}{p},\;x>\frac{1}{p}}(x(p-1))=1-\frac{1}{p}\neq 1=f(\frac{1}{p}).\]

\(f\) est donc discontinue à droite en tout \(\frac{1}{p}\) où \(p\) est un entier relatif non nul donné.

Graphe de \(f\) :

\[\]

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