Soit $x\in[0,1]$ et $y=f(x) \in [0,1]$ . Alors $f(y)=y$ car $f(f(x)) = f(x)$ . Donc $E_f \not= \varnothing$ . Nous venons de montrer que $I = f([0,1])$ est inclus dans $E_f$ . Montrons réciproquement $E_f$ est inclus dans $I$ . Soit $x\in[0,1]$ tel que $f(x)=x$ alors $x \in I=f([0,1])$ (car $x = f(x)$ !). Ainsi $E_f = I = f([0,1])$ . Mais l’image de l’intervalle $[0,1]$ par la fonction continue $f$ est un intervalle donc $E_f$ est un intervalle. La réciproque est vraie : une fonction continue pour laquelle $E_f = f([0,1])$ vérifie aussi $f\circ f = f$ . En effet pour $x \in [0,1]$ et $y = f(x)$ alors $y \in f([0,1])$ donc $y \in E_f$ . Donc $f(y)=y$ , autrement dit $f(f(x))=f(x)$ .

Les fonctions continues qui vérifient $f \circ = f$ sont donc exactement les fonctions continues telles que $E_f = f([0,1])$ . Pour une telle fonction si l’on note $[a,b] = E_f$ alors $f$ est définie sur $[0,a]$ par n’importe qu’elle fonction continue prenant ses valeurs entre $a$ et $b$ , et valant $a$ en $a$ : $f([0,a]) \subset [a,b]$ et $f(a)=a$ . Elle est ensuite définie par l’identité sur $[a,b]$ : pour tout $x\in [a,b]$ , $f(x)=x$ . Et enfin sur $[b,1]$ elle est définie par n’importe quelle fonction continue prenant ses valeurs entre $a$ et $b$ , et valant $b$ en $b$ : $f([b,1]) \subset [a,b]$ et $f(b)=b$ .

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