Soit \(x\in[0,1]\) et \(y=f(x) \in [0,1]\). Alors \(f(y)=y\) car \(f(f(x)) = f(x)\). Donc \(E_f \not= \varnothing\). Nous venons de montrer que \(I = f([0,1])\) est inclus dans \(E_f\). Montrons réciproquement \(E_f\) est inclus dans \(I\). Soit \(x\in[0,1]\) tel que \(f(x)=x\) alors \(x \in I=f([0,1])\) (car \(x = f(x)\) !). Ainsi \(E_f = I = f([0,1])\). Mais l’image de l’intervalle \([0,1]\) par la fonction continue \(f\) est un intervalle donc \(E_f\) est un intervalle. La réciproque est vraie : une fonction continue pour laquelle \(E_f = f([0,1])\) vérifie aussi \(f\circ f = f\). En effet pour \(x \in [0,1]\) et \(y = f(x)\) alors \(y \in f([0,1])\) donc \(y \in E_f\). Donc \(f(y)=y\), autrement dit \(f(f(x))=f(x)\).

Les fonctions continues qui vérifient \(f \circ = f\) sont donc exactement les fonctions continues telles que \(E_f = f([0,1])\). Pour une telle fonction si l’on note \([a,b] = E_f\) alors \(f\) est définie sur \([0,a]\) par n’importe qu’elle fonction continue prenant ses valeurs entre \(a\) et \(b\), et valant \(a\) en \(a\) : \(f([0,a]) \subset [a,b]\) et \(f(a)=a\). Elle est ensuite définie par l’identité sur \([a,b]\) : pour tout \(x\in [a,b]\), \(f(x)=x\). Et enfin sur \([b,1]\) elle est définie par n’importe quelle fonction continue prenant ses valeurs entre \(a\) et \(b\), et valant \(b\) en \(b\) : \(f([b,1]) \subset [a,b]\) et \(f(b)=b\).

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