Équations du second degré. La méthode génerale pour résoudre les équations du second degré \(az^2+bz+c= 0\) (avec \(a,b,c \in \Cc\) et \(a\not=0\)) est la suivante : soit \(\Delta = b^2-4ac\) le discriminant complexe et \(\delta\) une racine carrée de \(\Delta\) (\(\delta^2 = \Delta\)) alors les solutions sont : \[z_1 = \frac{-b+\delta}{2a} \quad \text{ et } \quad z_2 = \frac{-b-\delta}{2a}.\] Dans le cas où les coefficients sont réels, on retrouve la méthode bien connue. Le seul travail dans le cas complexe est de calculer une racine \(\delta\) de \(\Delta\).

Exemple : pour \(z^2-\sqrt{3}z-i =0\), \(\Delta = 3+4i\), dont une racine carrée est \(\delta = 2+i\), les solutions sont donc : \[z_1 = \frac{\sqrt{3}+2+i}{2}\quad \text{ et }\quad z_2 = \frac{\sqrt{3}-2-i}{2}.\]

Les solutions des autres équations sont :

L’équation \(z^2+z+1=0\) a pour solutions : \(\frac12 (-1+i\sqrt{3})\), \(\frac12 (-1-i\sqrt{3})\).
L’équation \(z^2-(1+2i)z+i-1=0\) a pour solutions : \(1+i\), \(i\).
L’équation \(z^2-\sqrt{3}z-i=0\) a pour solutions : \(\frac12(2-\sqrt{3}+i)\), \(\frac12(-2-\sqrt{3}-i)\)
L’équation \(z^2-(5-14i)z-2(5i+12)=0\) a pour solutions : \(5-12i\), \(-2i\).
L’équation \(z^2-(3+4i)z-1+5i =0\) a pour solutions : \(2+3i\), \(1+i\).
L’équation \(4z^2-2z+1=0\) a pour solutions : \(\frac 14(1+i\sqrt{3})\), \(\frac 14(1-i\sqrt{3})\).
L’équation \(z^4+10z^2 +169=0\) a pour solutions : \(2+3i\), \(-2-3i\), \(2-3i\), \(-2+3i\).
L’équation \(z^4+2z^2 +4=0\) a pour solutions : \(\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i\sqrt{3})\), \(\frac{\sqrt{2}}{2}(1-i\sqrt{3})\), \(\frac{\sqrt{2}}{2}(-1+i\sqrt{3})\), \(\frac{\sqrt{2}}{2}(-1-i\sqrt{3})\).

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