Équations du second degré. La méthode génerale pour résoudre les équations du second degré $az^2+bz+c= 0$ (avec $a,b,c \in \Cc$ et $a\not=0$ ) est la suivante : soit $\Delta = b^2-4ac$ le discriminant complexe et $\delta$ une racine carrée de $\Delta$ ( $\delta^2 = \Delta$ ) alors les solutions sont : $z_1 = \frac{-b+\delta}{2a} \quad \text{ et } \quad z_2 = \frac{-b-\delta}{2a}.$ Dans le cas où les coefficients sont réels, on retrouve la méthode bien connue. Le seul travail dans le cas complexe est de calculer une racine $\delta$ de $\Delta$ .

Exemple : pour $z^2-\sqrt{3}z-i =0$ , $\Delta = 3+4i$ , dont une racine carrée est $\delta = 2+i$ , les solutions sont donc : $z_1 = \frac{\sqrt{3}+2+i}{2}\quad \text{ et }\quad z_2 = \frac{\sqrt{3}-2-i}{2}.$

Les solutions des autres équations sont :

L’équation $z^2+z+1=0$ a pour solutions : $\frac12 (-1+i\sqrt{3})$ , $\frac12 (-1-i\sqrt{3})$ .
L’équation $z^2-(1+2i)z+i-1=0$ a pour solutions : $1+i$ , $i$ .
L’équation $z^2-\sqrt{3}z-i=0$ a pour solutions : $\frac12(2-\sqrt{3}+i)$ , $\frac12(-2-\sqrt{3}-i)$
L’équation $z^2-(5-14i)z-2(5i+12)=0$ a pour solutions : $5-12i$ , $-2i$ .
L’équation $z^2-(3+4i)z-1+5i =0$ a pour solutions : $2+3i$ , $1+i$ .
L’équation $4z^2-2z+1=0$ a pour solutions : $\frac 14(1+i\sqrt{3})$ , $\frac 14(1-i\sqrt{3})$ .
L’équation $z^4+10z^2 +169=0$ a pour solutions : $2+3i$ , $-2-3i$ , $2-3i$ , $-2+3i$ .
L’équation $z^4+2z^2 +4=0$ a pour solutions : $\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i\sqrt{3})$ , $\frac{\sqrt{2}}{2}(1-i\sqrt{3})$ , $\frac{\sqrt{2}}{2}(-1+i\sqrt{3})$ , $\frac{\sqrt{2}}{2}(-1-i\sqrt{3})$ .

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