Résultats admis sur la Loi Gamma et relation avec la loi exponentielle
La loi Gamma est une famille de lois de probabilité continues à deux paramètres, définies sur l’intervalle \((0, \infty)\). Elle est fréquemment utilisée pour modéliser des temps d’attente ou des variables continues positives.
Si une variable aléatoire \(X\) suit une loi Gamma de paramètre de forme \(k > 0\) (souvent noté \(\alpha\)) et de paramètre d’intensité (ou de taux, "rate") \(\lambda > 0\) (parfois noté \(\beta\) dans cette paramétrisation), on écrit \(X \sim \mathcal{G}amma(k, \lambda)\).
Fonction de densité de probabilité : Pour tout \(x > 0\), la densité est donnée par : \[f(x; k, \lambda) = \frac{\lambda^k x^{k-1} e^{-\lambda x}}{\Gamma(k)}\] où \(\Gamma(k) = \int_0^\infty t^{k-1}e^{-t}dt\) est la fonction Gamma d’Euler. Si \(k\) est un entier positif, alors \(\Gamma(k) = (k-1)!\).
Espérance et variance : \[\mathbb{E}[X] = \frac{k}{\lambda} \quad \text{Var}(X) = \frac{k}{\lambda^2}\]
La loi exponentielle de paramètre \(\lambda\), notée \(\mathcal{E}(\lambda)\), est un cas particulier de la loi Gamma : \(\mathcal{E}(\lambda) \equiv \mathcal{G}amma(1, \lambda)\).
Si \(Y_1, Y_2, \dots, Y_n\) sont \(n\) variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées (i.i.d.) suivant une loi exponentielle de paramètre \(\lambda\), alors leur somme \(S_n = \sum_{i=1}^n Y_i\) suit une loi Gamma de paramètres \(n\) et \(\lambda\): \[S_n = \sum_{i=1}^n Y_i \sim \mathcal{G}amma(n, \lambda)\] Dans ce cas, \(n\) (le nombre de variables sommées) devient le paramètre de forme \(k\), et \(\lambda\) reste le paramètre d’intensité.
Soit \(\theta \in \left]\frac{1}{2}; 1\right[\) un paramètre inconnu et une fonction densité : \[g_\theta : x \mapsto \frac{\theta}{1-\theta} x^{\frac{2\theta-1}{1-\theta}} \mathbf{1}_{[0;1]}(x)\]
À l’aide de la méthode du maximum de vraisemblance, proposer un estimateur de \(\theta\).
Soit \(Y_k = -\ln(X_k)\). Montrer que \(Y_k\) suit une loi exponentielle dont vous préciserez le paramètre \(\lambda\) en fonction de \(\theta\).
En déduire la loi de \(S_Y = \sum_{k=1}^{n} Y_k\).
En déduire que \(\frac{S_Y}{n}\) est un estimateur sans biais de la quantité \(\frac{1-\theta}{\theta}\).
On souhaite vérifier numériquement certaines propriétés de l’estimateur \(\hat{\theta} = \frac{n}{n+S_Y}\). Rappeler comment simuler une variable aléatoire \(Y\) suivant une loi exponentielle \(\mathcal{E}(\lambda)\) à partir d’une variable aléatoire \(U\) suivant une loi uniforme \(\mathcal{U}[0,1]\).
On suppose que l'on sait simuler une loi uniforme $\mathcal{U}[0,1]$ à l'aide de la méthode \texttt{rand()}. En déduire une méthode permettant d'approcher numériquement le paramètre $\theta$.