Soient \(A\) et \(B_0\) deux points et soit \(s\) la similitude directe de centre \(A\), de rapport \(\frac12\) et d’angle \(\frac{3\pi}{4}\). On considère la suite de points \((B_n)_{n\in\N}\) définie par la relation de récurrence \(\forall n\in \N,\: B_{n+1}=s(B_n)\).
1
Faire une figure avec \(AB_0=8\) et placer les points \(B_n\) jusqu’à \(n=4\).
2
Montrer que pour tout \(n\in\N\), les triangles \(AB_nB_{n+1}\) et \(AB_{n+1}B_{n+2}\) sont semblables.
3
Dans la suite, on considère le sous-ensemble du plan \(S = \bigcup_{n\in \N} [B_nB_{n+1}]\). C’est une spirale polyédrale. Sa longueur est-elle finie ou infinie ? Dans le premier cas, calculer sa longueur.