Soit \(E\) un plan et \((0,\vec{\imath},\vec{\jmath})\) un repère. Soient \(\alpha\) et \(\beta\) des nombres réels. On considère l’application \[\varphi : (\vec{u}\begin{pmatrix}x,y\end{pmatrix} , \vec{u'}\begin{pmatrix}x',y'\end{pmatrix})\mapsto \alpha xx'+\beta yy'\]
1
Montrer que \(\varphi\) est un bilinéaire et symétrique.
2
Montrer que \(\varphi\) est un produit scalaire si, et seulement si, \(\alpha\) et \(\beta\) sont strictement positifs.
3
Montrer que l’application \[\psi : (\vec{u}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} , \vec{u'}\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix})\mapsto 2xx'+yy' +xy'+x'y\] est un produit scalaire. Indication : Chercher une identité remarquable.