L2 Géométrie Géométrie affine euclidienne Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa BCPSTPrépa PSIPrépa PTPrépa BCPST 3 questions

exo7 7263

Soit EE un plan et (0,ı⃗,ȷ⃗)(0,\vec{\imath},\vec{\jmath}) un repère. Soient α\alpha et β\beta des nombres réels. On considère l’application φ:(u⃗(x,y),u′⃗(x′,y′))↦αxx′+βyy′\varphi : (\vec{u}\begin{pmatrix}x,y\end{pmatrix} , \vec{u'}\begin{pmatrix}x',y'\end{pmatrix})\mapsto \alpha xx'+\beta yy'

1

Montrer que φ\varphi est un bilinéaire et symétrique.

2

Montrer que φ\varphi est un produit scalaire si, et seulement si, α\alpha et β\beta sont strictement positifs.

3

Montrer que l’application ψ:(u⃗(xy),u′⃗(x′y′))↦2xx′+yy′+xy′+x′y\psi : (\vec{u}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} , \vec{u'}\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix})\mapsto 2xx'+yy' +xy'+x'y est un produit scalaire. Indication : Chercher une identité remarquable.

Exercice IKiU

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