On considère un cercle \(\mathcal{C}\) de centre \(O\) et deux points distincts \(A\) et \(B\). On veut construire au compas seul les points d’intersection du cercle \(\mathcal{C}\) et de la droite \((AB)\).
Si \(O \notin (AB)\), expliquer comment construire ces deux points. (Indication : on pourra construire le symétrique du cercle \(\mathcal{C}\) par rapport à la droite \((AB)\), en utilisant l’exercice [sym-compas-seul].)
Si \(O \in (AB)\), on se ramène à une intersection de cercles en utilisant une inversion. Plus précisément, on considère la construction suivante.
Soit \(\mathcal{C}'\) un cercle passant par \(A\), qui coupe \(\mathcal{C}\) en deux points \(D\) et \(E\). Soit \(F\) le symétrique de \(O\) par rapport à la droite \((DE)\), et soit \(G\) un point tel que le triangle \(OFG\) soit équilatéral. Montrer que \(G \in (DE)\) et expliquer comment le construire au compas seul.
Montrer que \(G\) a la même puissance par rapport à \(\mathcal{C}\) et à \(\mathcal{C}'\). En déduire qu’il existe une inversion \(\iota\) de centre \(G\) telle que \(\iota(\mathcal{C}) = \mathcal{C}\) et \(\iota(\mathcal{C}') = \mathcal{C}'\).
On note \(\mathcal{C}''\) l’image de la droite \((OA)\) par l’inversion \(\iota\) (en ajoutant son centre \(G\) pour avoir un cercle), et on note \(I\) le centre de \(\mathcal{C}''\). Montrer que les droites \((GI)\) et \((OA)\) sont orthogonales.
Soit \(H\) l’intersection du cercle \(\mathcal{C}'\) et de la droite \((AG)\) qui n’est pas \(A\). Montrer que \(\iota(A) = H\).
Montrer que \(I\) est sur la médiatrice du segment \([GH]\). Comment construire au compas seul deux points de cette médiatrice?
Comment construire deux points de la perpendiculaire à \((OA)\) passant par \(G\)? (Indication : construire le symétrique de \(G\) par rapport à \((OA)\).)
Montrer que \(I\) est l’intersection de la médiatrice de \([GH]\) et de la perpendiculaire à \((OA)\) passant par \(G\) (voir l’exercice [inter-droites-compas-seul] pour comment construire cette intersection au compas seul).
En déduire comment construire \(\mathcal{C}''\). (Indication : \(G \in \mathcal{C}''\).)
On note \(M\) et \(M'\) les points d’intersection de \(\mathcal{C}\) et \(\mathcal{C}'\). Montrer que \(\iota(M)\) et \(\iota(M')\) sont les points d’intersection de \(\mathcal{C}\) et \((AB)\).
Montrer que \(\iota(M)\) est l’intersection de \(\mathcal{C}\) et de la droite \((GM)\), autre que \(M\).