On considère un cercle de centre et deux points distincts et . On veut construire au compas seul les points d’intersection du cercle et de la droite .
Si , expliquer comment construire ces deux points. (Indication : on pourra construire le symétrique du cercle par rapport à la droite , en utilisant l’exercice [sym-compas-seul].)
Si , on se ramène à une intersection de cercles en utilisant une inversion. Plus précisément, on considère la construction suivante.
Soit un cercle passant par , qui coupe en deux points et . Soit le symétrique de par rapport à la droite , et soit un point tel que le triangle soit équilatéral. Montrer que et expliquer comment le construire au compas seul.
Montrer que a la même puissance par rapport à et à . En déduire qu’il existe une inversion de centre telle que et .
On note l’image de la droite par l’inversion (en ajoutant son centre pour avoir un cercle), et on note le centre de . Montrer que les droites et sont orthogonales.
Soit l’intersection du cercle et de la droite qui n’est pas . Montrer que .
Montrer que est sur la médiatrice du segment . Comment construire au compas seul deux points de cette médiatrice?
Comment construire deux points de la perpendiculaire à passant par ? (Indication : construire le symétrique de par rapport à .)
Montrer que est l’intersection de la médiatrice de et de la perpendiculaire à passant par (voir l’exercice [inter-droites-compas-seul] pour comment construire cette intersection au compas seul).
En déduire comment construire . (Indication : .)
On note et les points d’intersection de et . Montrer que et sont les points d’intersection de et .
Montrer que est l’intersection de et de la droite , autre que .