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Si $\Omega$ est un point et si $\lambda$ est un réel non nul, l’inversion de centre $\Omega$ et de rapport $\lambda$ est l’application du plan privé de $P$ dans lui-même qui au point $P$ associe l’unique point $P' \in ( \Omega P)$ tel que $\vec{ \Omega P} \cdot \vec{ \Omega P'} = \lambda$. Montrer que les inversions sont involutives, c’est-à-dire que ce sont des bijections qui sont leur propre bijection réciproque.

Montrer que l’ensemble des points fixes d’une inversion est un cercle.

Montrer que si $\mathcal{C}$ est un cercle tel que la puissance de $\Omega$ par rapport à $\mathcal{C}$ est $\lambda$, et si $\iota$ est l’inversion de centre $\Omega$ et de rapport $\lambda$, alors $\iota(\mathcal{C}) = \mathcal{C}$.

Si $\Delta$ est une droite qui ne passe pas par $\Omega$, montrer que son image par l’inversion de centre $\Omega$ et de rapport $\lambda$ est un cercle passant par $\Omega$ privé du point $\Omega$. (Indication: noter $H$ le projeté orthogonal de $\Omega$ sur $\Delta$, $\iota$ l’inversion; en appliquant une homothétie de centre $\Omega$ bien choisie on peut supposer que $\iota(H) = H$; montrer alors que $P \in \Delta$ si et seulement si $\vec{ \Omega \iota(P)} \cdot \vec{H \iota(P)} = 0$.)

Montrer que l’image par une inversion d’un cercle ne passant pas par le centre de l’inversion est un cercle. (Indication: utiliser une homothétie de même centre que l’inversion pour se ramener à la question [q-inv-puissance].)