Si \(\Omega\) est un point et si \(\lambda\) est un réel non nul, l’inversion de centre \(\Omega\) et de rapport \(\lambda\) est l’application du plan privé de \(P\) dans lui-même qui au point \(P\) associe l’unique point \(P' \in ( \Omega P)\) tel que \(\vec{ \Omega P} \cdot \vec{ \Omega P'} = \lambda\). Montrer que les inversions sont involutives, c’est-à-dire que ce sont des bijections qui sont leur propre bijection réciproque.
Montrer que l’ensemble des points fixes d’une inversion est un cercle.
[q-inv-puissance] Montrer que si \(\mathcal{C}\) est un cercle tel que la puissance de \(\Omega\) par rapport à \(\mathcal{C}\) est \(\lambda\), et si \(\iota\) est l’inversion de centre \(\Omega\) et de rapport \(\lambda\), alors \(\iota(\mathcal{C}) = \mathcal{C}\).
Si \(\Delta\) est une droite qui ne passe pas par \(\Omega\), montrer que son image par l’inversion de centre \(\Omega\) et de rapport \(\lambda\) est un cercle passant par \(\Omega\) privé du point \(\Omega\). (Indication: noter \(H\) le projeté orthogonal de \(\Omega\) sur \(\Delta\), \(\iota\) l’inversion; en appliquant une homothétie de centre \(\Omega\) bien choisie on peut supposer que \(\iota(H) = H\); montrer alors que \(P \in \Delta\) si et seulement si \(\vec{ \Omega \iota(P)} \cdot \vec{H \iota(P)} = 0\).)
Montrer que l’image par une inversion d’un cercle ne passant pas par le centre de l’inversion est un cercle. (Indication: utiliser une homothétie de même centre que l’inversion pour se ramener à la question [q-inv-puissance].)