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Soit $\Gamma$ un cercle, $O$ son centre et $M$ un point n’appartenant pas à $\Gamma$. Deux sécantes issues de $M$ coupent $\Gamma$ respectivement en $A$ et $B$, et en $C$ et $D$. Démontrer l’égalité: $$2 (\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MC}) = (\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OD}) - (\overrightarrow{OC},\overrightarrow{OA}).$$

Soient $A$ et $B$ deux points d’un cercle $\Gamma$ de centre $O$ et de rayon $r$. Sur la droite $(OA)$, soit $C$ le point extérieur au cercle tel que la droite $(CB)$ recoupe le cercle en un point $M$ vérifiant $MC=r$. (On ne demande pas de construire ce point, le placer approximativement sur la figure.) Montrer que $\widehat{ACB} = \frac13 \widehat{AOB}$.