Soient $\mathcal C$ et $\mathcal C'$ les cercles circonscrits à $ARQ$ et $BPR$ . Traitons le premier cas, celui où ils se coupent en $R$ et en un deuxième point $T$ .

Il s’agit de montrer que $T, P, C, Q$ sont cocycliques.

Par le cours, il suffit de montrer l’égalité d’angles de droites $(QT,QC)=(PT,PC)$ . Or on a : $\begin{align*} (QT,QC)&=(QT,QA) \text{ car $(QC)=(QA)$}\\ &=(RT,RA) \text{ car $AQTR$ est inscriptible} \\ &= (RT,RB) \text{ car $(RA)=(RB)$} \\ &=(PT,PB) \text{ car $PTRB$ est inscriptible} \\ &=(PT,PC) \text{ car $(PB)=(PC)$.} \end{align*}$

Attention, si on utilise des angles géométriques au lieu des angles de droites pour rédiger la solution, on peut être amené à distinguer plusieurs configurations possibles, par exemple celle-ci:

(Les angles $\widehat{BRT}$ et $\widehat{BPT}$ sont supplémentaires dans la première figure, et égaux dans la seconde.)

Le second cas, celui où les deux premiers cercles sont tangents en $R$ , se traite à l’aide du cas limite du théorème de l’angle au centre.

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