Soit \(\mathcal D\) une droite et \(A\) et \(B\) deux points situés d’un seul côté de \(\mathcal D\). L’objectif est de construire un cercle passant par les deux points et tangent à la droite.
Construire un tel cercle si les droites \((AB)\) et \(\mathcal D\) sont parallèles. Dans la suite, on supposera qu’elles sont sécantes.
(Analyse) Soit \(\mathcal C\) un tel cercle et \(T\) son point de tangence avec \(\mathcal D\). Montrer que \((AB,AT) = (TB,\mathcal D)\).
(Synthèse) Soit \(I\) le point d’intersection de \((AB)\) avec \(\mathcal D\), \(B'\) le symétrique de \(B\) par rapport à \(I\), et \(B''\) le symétrique de \(B\) par rapport à \(\mathcal D\). Montrer que le cercle circonscrit à \(AB'B''\) (de diamètre \([AB']\) dans le cas où \(B'=B''\)) coupe \(\mathcal D\) en deux points qui conviennent pour le choix de \(T\).