Traçons une figure :

[Sur la figure, on voit que les angles $\widehat{GFD}$ et $\widehat{GED}$ sont supplémentaires, car $\widehat{GFD}=\widehat{BFA}$ et $\widehat{GED}=\widehat{GEB}+\widehat{BED} = \widehat{FBA}+\widehat{BAF}$ . Il ne reste plus qu’à rédiger cette preuve un peu plus rigoureusement avec des angles de droites.]

Montrons que $(FD,FG)=(ED,EG)$ , ce qui prouve que $EDFG$ est inscriptible.

Tout d’abord, comme $(FD)=(FA)$ et $(FG)=(FB)$ , on a $(FD,FG)=(FA,FB).$

Ensuite, la somme des angles du triangle $ABF$ vaut $\pi$ , donc en termes d’angles de droites on a la relation $(FA,FB)+(AB,AF)+(BF,BA)=0$ , c’est-à-dire: $(FA,FB) = (AF,AB)+(BA,BF).$ Calculons chacun de ces deux angles. D’une part, on a : $\begin{align*} (AF,AB) &= (AD,AB) \text{ car $(AD)=(AF)$}\\ &=(ED,EB) \text{ car $ABDE$ est inscriptible}. \end{align*}$ Et d’autre part : $\begin{align*} (BA,BF) &= (BA,BC) \text{ car $(BF)=(BC)$} \\ &= (CB,CA) \text{ car $ABC$ est isocèle en $A$}\\ &= (EB,EA) \text{ car $ABCE$ est inscriptible.} \end{align*}$

Finalement, on obtient donc: $\begin{align*} (FD,FG)&=(FA,FB) \\ &= (AF,AB)+(BA,BF) \\ &= (ED,EB) + (EB,EA)\\ &= (ED,EA)\\ &= (ED,EG) \text{ car $(EG)=(EA)$,} \end{align*}$ ce qu’il fallait démontrer.

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