Traçons une figure :

[Sur la figure, on voit que les angles \(\widehat{GFD}\) et \(\widehat{GED}\) sont supplémentaires, car \(\widehat{GFD}=\widehat{BFA}\) et \(\widehat{GED}=\widehat{GEB}+\widehat{BED} = \widehat{FBA}+\widehat{BAF}\). Il ne reste plus qu’à rédiger cette preuve un peu plus rigoureusement avec des angles de droites.]

Montrons que \((FD,FG)=(ED,EG)\), ce qui prouve que \(EDFG\) est inscriptible.

Tout d’abord, comme \((FD)=(FA)\) et \((FG)=(FB)\), on a \[(FD,FG)=(FA,FB).\]

Ensuite, la somme des angles du triangle \(ABF\) vaut \(\pi\), donc en termes d’angles de droites on a la relation \((FA,FB)+(AB,AF)+(BF,BA)=0\), c’est-à-dire: \[(FA,FB) = (AF,AB)+(BA,BF).\] Calculons chacun de ces deux angles. D’une part, on a : \[\begin{align*} (AF,AB) &= (AD,AB) \text{ car $(AD)=(AF)$}\\ &=(ED,EB) \text{ car $ABDE$ est inscriptible}. \end{align*}\] Et d’autre part : \[\begin{align*} (BA,BF) &= (BA,BC) \text{ car $(BF)=(BC)$} \\ &= (CB,CA) \text{ car $ABC$ est isocèle en $A$}\\ &= (EB,EA) \text{ car $ABCE$ est inscriptible.} \end{align*}\]

Finalement, on obtient donc: \[\begin{align*} (FD,FG)&=(FA,FB) \\ &= (AF,AB)+(BA,BF) \\ &= (ED,EB) + (EB,EA)\\ &= (ED,EA)\\ &= (ED,EG) \text{ car $(EG)=(EA)$,} \end{align*}\] ce qu’il fallait démontrer.

exo7 7128