Soit \(\mathcal C\) un cercle et \(P\) un point du plan.
Soit \(\mathcal D\) une droite passant par \(P\) et intersectant le cercle en deux points \(A\) et \(B\). Montrer que la quantité \(\overline{PA}\cdot\overline{PB}:= \overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB}\) ne dépend pas de la droite choisie. On l’appelle la puissance du point \(P\) par rapport au cercle \(\mathcal C\), et on la note \(p_{\mathcal C}(P)\).
Avec les mêmes notations, si \(P\) est à l’extérieur du cercle et \(\mathcal D\) est tangente au cercle en \(T\), montrer que \(p_{\mathcal C}(P) = PT^2\).
Montrer que \(p_{\mathcal C}(P)\) vaut \(OP^2 - r^2\), où \(r\) est le rayon du cercle.
Soit \(\lambda \in \R\). Déterminer l’ensemble des points dont la puissance par rapport au cercle vaut \(\lambda\).
Réciproquement, soient \((AB)\) et \((CD)\) deux droites se coupant en \(P\). On suppose que \(\overline{PA}\cdot \overline{PB} = \overline{PC}\cdot \overline{PD}\). Montrer que \(ABCD\) est inscriptible.