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Soit $\mathcal D$ une droite passant par $P$ et intersectant le cercle en deux points $A$ et $B$. Montrer que la quantité $\overline{PA}\cdot\overline{PB}:= \overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB}$ ne dépend pas de la droite choisie. On l’appelle la puissance du point $P$ par rapport au cercle $\mathcal C$, et on la note $p_{\mathcal C}(P)$.

Avec les mêmes notations, si $P$ est à l’extérieur du cercle et $\mathcal D$ est tangente au cercle en $T$, montrer que $p_{\mathcal C}(P) = PT^2$.

Montrer que $p_{\mathcal C}(P)$ vaut $OP^2 - r^2$, où $r$ est le rayon du cercle.

Soit $\lambda \in \R$. Déterminer l’ensemble des points dont la puissance par rapport au cercle vaut $\lambda$.

Réciproquement, soient $(AB)$ et $(CD)$ deux droites se coupant en $P$. On suppose que $\overline{PA}\cdot \overline{PB} = \overline{PC}\cdot \overline{PD}$. Montrer que $ABCD$ est inscriptible.