Soient $A,B$ deux points de $S$ distincts. Intersection de $S$ avec un plan passant par $A$ et $B$ $\Rightarrow$ $S$ est réunion de cercles passant par $A$ et $B$ . On considère le plan médiateur de $[A,B]$ , $P$ qui coupe $S$ suivant un cercle $\mathcal{C}$ de centre $O$ . Le plan $Q = (OAB)$ coupe $S$ suivant un cercle $\mathcal{C}'$ . $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$ ont en commun les points $C$ , $D$ . $(CD)$ est médiatrice de $[A,B]$ dans $Q$ donc est un diamètre de $\mathcal{C}'$ et passe par $O$ , donc est aussi diamètre de $\mathcal{C}$ . Ainsi $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$ sont deux cercles de même centre et même rayon dans des plans perpendiculaires. En considérant les plans coupant $P$ et $Q$ à angle droit, on obtient que $S$ est une sphère de centre $O$ .

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