$\mathcal{C}$ est le support de l’arc paramétré $t\mapsto\left( \begin{array}{c} t\\ \ln(\cos t) \end{array} \right)$ .

$\overrightarrow{\frac{dM}{dt}}=\left( \begin{array}{c} 1\\ -\sin t/\cos t \end{array} \right)=\frac{1}{\cos t}\left( \begin{array}{c} \cos t\\ -\sin t \end{array} \right)$ .

Puisque $\frac{1}{\cos t}>0$ et que $\left( \begin{array}{c} \cos t\\ -\sin t \end{array} \right)$ est unitaire, on a successivement $\frac{ds}{dt}=\frac{1}{\cos t}$ , $\overrightarrow{\tau}(t)=\left( \begin{array}{c} \cos t\\ -\sin t \end{array} \right)$ , $\overrightarrow{n}(t)=\left( \begin{array}{c} \sin t\\ \cos t \end{array} \right)$ , $\alpha(t)=-t$ puis

$R(t)=\frac{ds/dt}{d\alpha/dt}=-\frac{ds}{dt}=-\frac{1}{\cos t}$ .

Ensuite, si $s$ est l’abscisse curviligne d’origine $0$ orientée dans le sens des $t$ croissants,

$s(t)=\int_{0}^{t}s'(u)\;du=\int_{0}^{t}\frac{1}{\cos u}\;du=\ln\left|\tan\left(\frac{t}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\right|$ .

Enfin,

$\Omega(t)=M(t)+R(t)\overrightarrow{n}(t)=\left( \begin{array}{c} t\\ \ln(\cos t) \end{array} \right)-\frac{1}{\cos t}\left( \begin{array}{c} \sin t\\ \cos t \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} t-\tan t\\ \ln(\cos t)-1 \end{array} \right)$ .

\[\]

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