\(\mathcal{C}\) est le support de l’arc paramétré \(t\mapsto\left( \begin{array}{c} t\\ \ln(\cos t) \end{array} \right)\).

\(\overrightarrow{\frac{dM}{dt}}=\left( \begin{array}{c} 1\\ -\sin t/\cos t \end{array} \right)=\frac{1}{\cos t}\left( \begin{array}{c} \cos t\\ -\sin t \end{array} \right)\).

Puisque \(\frac{1}{\cos t}>0\) et que \(\left( \begin{array}{c} \cos t\\ -\sin t \end{array} \right)\) est unitaire, on a successivement \(\frac{ds}{dt}=\frac{1}{\cos t}\), \(\overrightarrow{\tau}(t)=\left( \begin{array}{c} \cos t\\ -\sin t \end{array} \right)\), \(\overrightarrow{n}(t)=\left( \begin{array}{c} \sin t\\ \cos t \end{array} \right)\), \(\alpha(t)=-t\) puis

\(R(t)=\frac{ds/dt}{d\alpha/dt}=-\frac{ds}{dt}=-\frac{1}{\cos t}\).

Ensuite, si \(s\) est l’abscisse curviligne d’origine \(0\) orientée dans le sens des \(t\) croissants,

\(s(t)=\int_{0}^{t}s'(u)\;du=\int_{0}^{t}\frac{1}{\cos u}\;du=\ln\left|\tan\left(\frac{t}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\right|\).

Enfin,

\(\Omega(t)=M(t)+R(t)\overrightarrow{n}(t)=\left( \begin{array}{c} t\\ \ln(\cos t) \end{array} \right)-\frac{1}{\cos t}\left( \begin{array}{c} \sin t\\ \cos t \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} t-\tan t\\ \ln(\cos t)-1 \end{array} \right)\).

\[\]

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