La loi log-normale de paramètres \(\mu\in\mathbb{R}\) et \(\sigma>0\), notée \(\mathcal{LN}(\mu,\sigma)\), est la loi de densité \[f(x)=\frac{1}{x\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\!\left(-\frac{(\ln x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)\mathbf{1}_{]0,+\infty[}(x).\]
Soit \(X\) une variable aléatoire à valeurs strictement positives. Montrer que \(Y=\ln X\) suit la loi normale \(\mathcal{N}(\mu,\sigma)\) si et seulement si \(X\) suit la loi \(\mathcal{LN}(\mu,\sigma)\).
Montrer que, si \(X\) suit la loi \(\mathcal{LN}(\mu,\sigma)\), alors \(1/X\) suit une loi log-normale dont on précisera les paramètres.
Soit \((X_i)_{1\leq i\leq n}\) une famille de variables aléatoires mutuellement indépendantes avec \(X_i\sim\mathcal{LN}(\mu_i,\sigma_i)\). Déterminer la loi de \(Z=\prod_{i=1}^{n}X_i\).
On suppose que \(X\sim\mathcal{LN}(5,1{,}5)\). Calculer \(\mathbb{P}(50\leq X\leq 400)\).
Soit \(X\sim\mathcal{LN}(0,1)\). Montrer que \[\mathbb{E}[X]=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\mathbb{R}} e^{y-y^2/2}\,\mathrm{d}y=\exp\!\left(\frac12\right).\]