Soit \(X\) une variable aléatoire réelle définie sur un espace probabilisé \((\Omega, \mathcal{T}, \prob)\). On suppose que \(X(\Omega) = ]0,+\infty[\) et que \(\ln(X)\) suit une loi normale d’espérance \(\mu = 1\) et d’écart-type \(\sigma = 2\). On note \(\Phi\) la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite \(\mathcal{N}(0,1)\).
1
Donner une valeur approchée, à \(10^{-2}\) près, de \(\prob(-0{,}5 \leq \ln(X) \leq 2{,}5)\).
2
On note \(F_X\) la fonction de répartition de \(X\). Exprimer \(F_X\) en fonction de \(\Phi\).
3
En déduire la loi de \(X\).