Le fonctionnement d’une machine est perturbé par des pannes. On considère les variables aléatoires \(X_1, X_2, X_3\) définies par : \(X_1\) est le temps, exprimé en heures, écoulé entre la mise en route de la machine et la première panne. \(X_2\) (resp. \(X_3\)) est le temps, en heures, écoulé entre la remise en route de la machine après la première (resp. la deuxième) panne et la panne suivante. On suppose que les variables aléatoires \(X_1, X_2, X_3\) sont indépendantes et suivent la même loi exponentielle de paramètre \(\lambda = \frac{1}{2}\), autrement dit de densité :
\[f(t) = \begin{cases} \frac{1}{2} e^{-\frac{t}{2}} & \text{si } t \geq 0 \\ 0 & \text{si } t < 0 \end{cases}\]
Calculer l’espérance de chaque variable \(X_i\) pour \(i \in \{1,2,3\}\) et interpréter.
Pour tout \(t >0\) et \(i \in \{1,2,3\}\), calculer \(\prob(X_i > t)\).
Soit \(E\) l’événement : « Chacune des 3 périodes de fonctionnement de la machine dure plus de 2 heures ». Exprimer \(E\) en fonction des événements \(A_i = \{X_i > 2\}\) pour \(i \in \{1,2,3\}\) et calculer \(\prob(E)\).
- \question{ Exprimer $Y$ en fonction de $X_1,X_2,X_3$ puis montrer que $\prob(Y \leq t) = \left(1 - e^{-\frac{t}{2}}\right)^3$ pour tout $t \geq 0$.}
\indication{Écrire $Y=\max(X_1,X_2,X_3)$ : l'événement $\{Y\leq t\}$ impose simultanément $X_i\leq t$ pour les trois indices.}
\reponse{
On a $Y = \max(X_1,X_2,X_3)$. Donc, pour tout $t \geq 0$, on a :
$$\begin{align*}
\prob(Y \leq t) & = \prob(\max(X_1,X_2,X_3) \leq t)
& = \prob(X_1 \leq t \cap X_2 \leq t \cap X_3 \leq t)
& = \prob(X_1 \leq t) \times \prob(X_2 \leq t) \times \prob(X_3 \leq t)
& = (1 - e^{-\frac{t}{2}})^3. \end{align*}$$ } - \question{ En déduire une fonction densité $f_Y(t)$ de $Y$. }
\indication{Dériver la fonction de répartition sur $t>0$ et ne pas oublier que la densité est nulle hors de $[0,+\infty[$.}
\reponse{
Pour tout $t < 0$, $\prob(Y \leq t) = 0$. D'après le résultat de la question précédente, pour tout $t \geq 0$, on a :
\[
f_Y(t) = \frac{d}{dt} \prob(Y \leq t) = \frac{d}{dt} \left(1 - e^{-\frac{t}{2}}\right)^3 = 3 \times \frac{1}{2} e^{-\frac{t}{2}} \times \left(1 - e^{-\frac{t}{2}}\right)^2.
\]
On en déduit qu'une densité de probabilité de $Y$ est : \[f_Y(t) =
\begin{cases}
0 & \text{si } t < 0
3 \times \frac{1}{2} e^{-\frac{t}{2}} \times \left(1 - e^{-\frac{t}{2}}\right)^2 & \text{si } t \geq 0 \end{cases} \]. } - \question{ En intégrant par parties, montrer que pour tout $a <0$ : $$ \int_0^{+\infty} t e^{at} \, dt = \frac{1}{a^2}. $$ } \reponse{ On a $\int_0^{+\infty} t e^{at} \, dt = \left[ t \frac{e^{at}}{a} \right]_0^{+\infty} - \int_0^{+\infty} \frac{e^{at}}{a} \, dt = 0 - \frac{1}{a} \int_0^{+\infty} e^{at} \, dt = -\frac{1}{a} \left[ \frac{e^{at}}{a} \right]_0^{+\infty} = -\frac{1}{a} \left(0 - \frac{1}{a}\right) = \frac{1}{a^2}$. }
- \question{ Démontrer que la variable aléatoire $Y$ admet une espérance, que l’on calculera. Exprimer la valeur en heures et minutes. }
\indication{Développer le carré dans $f_Y(t)$ pour ramener $\E(Y)$ à une combinaison d'intégrales $\int_0^{+\infty}t e^{at}\,\mathrm dt$ de la question précédente.}
\reponse{
On a $f_Y(t) = 3 \times \frac{1}{2} e^{-\frac{t}{2}} \times \left(1 - e^{-\frac{t}{2}}\right)^2$. Donc on a :
$$\begin{align*}
\mathbb{E}(Y) & = \int_0^{+\infty} t f_Y(t) \, dt
& = 3 \times \frac{1}{2} \int_0^{+\infty} t e^{-\frac{t}{2}} \times \left(1 - e^{-\frac{t}{2}}\right)^2 \, dt
& = \frac{3}{2} \int_0^{+\infty} t e^{-\frac{t}{2}} \, dt -2t e^{-t} + t e^{-\frac{3t}{2}} \, dt
&= \frac{3}{2} \times \left( \frac{1}{\left(\frac{1}{2}\right)^2} - 2 \times \frac{1}{1^2} + \frac{1}{\left(\frac{3}{2}\right)^2} \right)
&= \frac{11}{3} = 3 + \frac{2}{3}. \end{align*}$$ Donc, l'espérance de $Y$ est de 3 heures et 40 minutes. Cela signifie que la durée moyenne de fonctionnement de la machine sans interruption est de 3 heures et 40 minutes. }
Exprimer \(Y\) en fonction de \(X_1,X_2,X_3\) puis montrer que \(\prob(Y \leq t) = \left(1 - e^{-\frac{t}{2}}\right)^3\) pour tout \(t \geq 0\).
En déduire une fonction densité \(f_Y(t)\) de \(Y\).
En intégrant par parties, montrer que pour tout \(a <0\) : \[\int_0^{+\infty} t e^{at} \, dt = \frac{1}{a^2}.\]
Démontrer que la variable aléatoire \(Y\) admet une espérance, que l’on calculera. Exprimer la valeur en heures et minutes.