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Soit \(f : {]0,+\infty[} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\) telle que \(f(x) \to \ell\in\R\) lorsque \(x\to0^+\), et : \(\forall\ x > 0,\ f''(x) \ge -\frac k{x^2}\).
Montrer que \(xf'(x) \to 0\) lorsque \(x\to0^+\) (écrire la formule de Taylor-Lagrange à l’ordre 2 entre \(x\) et \(x+\varepsilon x\)).