Soit \(f : {\R} \to {\R^+}\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^2\). On suppose : \(\forall\ x \in \R,\ |f''(x)| \le M\).
1
Montrer que : \(\forall\ x,y \in \R,\ f(x) + yf'(x) + \frac {y^2}2M \ge 0\).
2
En déduire que : \(\forall\ x \in \R,\ |f'(x)| \le \sqrt{2Mf(x)}\).
3
On suppose que : \(\forall\ x \in \R,\ |f'(x)| = \sqrt{2Mf(x)}\). Que pouvez-vous dire de \(f\) ?