L1 Analyse Développement limité Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa MP · MPI 3 questions

exo7 4014

Soit f:R→R+f : {\R} \to {\R^+} une fonction de classe C2\mathcal{C}^2. On suppose : ∀ x∈R, ∣f′′(x)∣≤M\forall\ x \in \R,\ |f''(x)| \le M.

1

Montrer que : ∀ x,y∈R, f(x)+yf′(x)+y22M≥0\forall\ x,y \in \R,\ f(x) + yf'(x) + \frac {y^2}2M \ge 0.

2

En déduire que : ∀ x∈R, ∣f′(x)∣≤2Mf(x)\forall\ x \in \R,\ |f'(x)| \le \sqrt{2Mf(x)}.

3

On suppose que : ∀ x∈R, ∣f′(x)∣=2Mf(x)\forall\ x \in \R,\ |f'(x)| = \sqrt{2Mf(x)}. Que pouvez-vous dire de ff ?

Exercice a2xR

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