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Soit $f : {[a,b]} \to \R$ de classe $\mathcal{C}^2$ . On note $M = \sup|f''|$ et on suppose $M>0$ .

Montrer que : $\forall\ x \in {]a,b[}$ , on a $\left|f'(x) - \frac {f(b)-f(a)}{b-a}\right| < M\frac {b-a}2$ .

Si $\left|f'(a) - \frac {f(b)-f(a)}{b-a}\right| = M\frac {b-a}2$ , montrer que $f$ est polynomiale de degré inférieur ou égal à 2.