Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\). On note \(M = \sup|f''|\) et on suppose \(M>0\).
1
Montrer que : \(\forall\ x \in {]a,b[}\), on a \(\left|f'(x) - \frac {f(b)-f(a)}{b-a}\right| < M\frac {b-a}2\).
2
Si \(\left|f'(a) - \frac {f(b)-f(a)}{b-a}\right| = M\frac {b-a}2\), montrer que \(f\) est polynomiale de degré inférieur ou égal à 2.