Soit \(f : {\R^+} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^\infty\) telle que \(f(0) = 1\), et : \(\forall\ x \ge \frac12,\ f(x) = 0\).
1
Montrer que \(\sup\limits_{\R^+} \bigl|f^{(n)}\bigr| \ge 2^nn!\).
2
Montrer que pour \(n \ge 1\), \(\sup\limits_{\R^+} \bigl|f^{(n)}\bigr| > 2^nn!\).