Soit $x\in[0,1]\subset[0,\frac{\pi}{2}]$ .

D’après la formule de Taylor-Laplace à l’ordre 1 fournit

$\sin x=x-\int_{0}^{x}(x-t)\sin t\;dt\leq x,$

car pour $t\in[0,x]$ , $(x-t)\geq0$ et pour $t\in[0,x]\subset[0,\frac{\pi}{2}]$ , $\sin t\geq0$ .

De même, la formule de Taylor-Laplace à l’ordre 3 fournit

$\sin x=x-\frac{x^3}{6}+\int_{0}^{x}\frac{(x-t)^3}{6}\sin t\;dt\geq x-\frac{x^3}{6}.$

Donc, $\forall x\in[0,1],\;x-\frac{x^3}{6}\leq\sin x\leq x$ .

Soient alors $n\geq1$ et $k\in\{1,...,n\}$ . On a $0\leq\frac{1}{(n+k)^2}\leq1$ et donc

$\frac{1}{(n+k)^2}-\frac{1}{6(n+k)^6}\leq\sin\frac{1}{(n+k)^2}\leq\frac{1}{(n+k)^2},$

puis en sommant

$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(n+k)^2}-\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{6(n+k)^6}\leq\sum_{k=1}^{n}\sin\frac{1}{(n+k)^2}\leq\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(n+k)^2}.$

Maintenant, quand $n$ tend vers $+\infty$ ,

$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(n+k)^2}=\frac{1}{n}.\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(1+\frac{k}{n})^2} =\frac{1}{n}\left(\int_{0}^{1}\frac{1}{(1+x)^2}\;dx+o(1)\right)=\frac{1}{2n}+o(\frac{1}{n}).$

D’autre part,

$0\leq\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{6(n+k)^6}\leq n.\frac{1}{6n^6}=\frac{1}{6n^5},$

et donc, $\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{6(n+k)^6}=o(\frac{1}{n})$ .

On en déduit que $2n(\frac{1}{(n+k)^2}-\frac{1}{6(n+k)^6})=2n(\frac{1}{2n}+o(\frac{1}{n}))=1+o(1)$ et que $2n\frac{1}{(n+k)^2}=1+o(1)$ . Mais alors, d’après le théorème des gendarmes, $2n\sum_{k=1}^{n}\sin\frac{1}{(n+k)^2}$ tend vers $1$ quand $n$ tend vers $+\infty$ , ou encore

$\sum_{k=1}^{n}\sin\frac{1}{(n+k)^2}\underset{n\rightarrow+\infty}{\sim}\frac{1}{2n}.$

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