Le dl de $\cos x$ en $0$ à l’ordre $6$ est : $\cos x = 1 - \frac{1}{2!} x^2 + \frac{1}{4!}x^4 - \frac{1}{6!} x^6 + o(x^6).$

Calculons celui de $\frac{1+ax^2}{1+bx^2}$ :

$\begin{align*} \frac{1+ax^2}{1+bx^2} & = (1+ax^2) \times \frac{1}{1+bx^2} \\ & = (1+ax^2)\times \big(1-bx^2+b^2x^4-b^3x^6+o(x^6) \big) \quad \text{ car } \frac{1}{1+u} = 1-u+u^2 - u^3+o(u^3) \\ &= \ \ \cdots \qquad \text{ on développe } \\ &= 1 + (a-b) x^2 - b(a-b) x^4 + b^2(a-b) x^6 + o(x^6) \\ \end{align*}$

Notons $\Delta(x) = \cos x - \frac{1+ax^2}{1+bx^2}$ alors $\Delta(x) = \big(-\frac12-(a-b)\big)x^2 + \big(\frac{1}{24} + b(a-b)\big) x^4 + \big(-\frac{1}{720}-b^2(a-b)\big) x^6 + o(x^6).$

Pour que cette différence soit la plus petite possible (lorsque $x$ est proche de $0$ ) il faut annuler le plus possible de coefficients de bas degré. On souhaite donc avoir $-\frac12-(a-b) = 0 \qquad \text{et} \qquad \frac{1}{24} + b(a-b)=0.$ En substituant l’égalité de gauche dans celle de droite on trouve : $a=-\frac{5}{12} \qquad \text{et} \qquad b=\frac{1}{12}.$

On obtient alors $\Delta(x) = \big(-\frac{1}{720}-b^2(a-b)\big) x^6 + o(x^6) = \frac{1}{480} x^6 + o(x^6).$

Avec notre choix de $a,b$ nous avons obtenu une très bonne approximation de $\cos x$ . Par exemple lorsque l’on évalue $\frac{1+ax^2}{1+bx^2}$ (avec $a=-\frac{5}{12}$ et $b=\frac{1}{12}$ ) en $x=0.1$ on trouve : $0.9950041631\ldots$ Alors que $\cos(0.1)=0.9950041652\ldots$ En l’on trouve ici $\Delta(0.1) \simeq 2\times 10^{-9}$ .

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