[diffinie]Différences finies Soit \(f:\R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^\infty\) et \(h > 0\). On pose : \[\Delta_hf(x) = \frac {f(x+h/2) - f(x-h/2)}h \qquad \text{et}\quad \Delta_h^p = \underbrace{\Delta_h \circ \Delta_h \circ \dots \circ \Delta_h} _{p \text{ fois}}.\]
Par exemple, \(\Delta_h^2f(x) = \frac {f(x+h) - 2f(x) + f(x-h)}{h^2}\).
1
Montrer que : \(\forall\ x \in \R,\ \exists\ \theta \in {]-1,1[} \text{ tq } \Delta_hf(x) = f'\left(x + \frac {\theta h}2\right)\).
2
Montrer que : \(\forall\ x \in \R,\ \exists\ \theta'\in {]-1,1[} \text{ tq } \Delta_hf(x) = f'(x) + \frac {h^2}{24} f^{(3)}\left( x + \frac{\theta' h}2\right)\).