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En appliquant la formule de Taylor sur $[ 0,1]$ à l’application $\varphi : x \mapsto ae^x+ce^{-x}$ démontrer que, pour tout $n \in { \Nn}$ il existe $\theta _n \in ]0,1[$ tel que : $$-b= \frac{ae^{\theta _n} +(-1)^n ce^{-\theta _n}}{ (n+1)!}+\sum _{k=0}^n \frac{a +(-1)^k c}{ k!} .$$

En déduire que pour $n$ assez grand $ae^{\theta _n} +(-1)^n ce^{-\theta _n}=0$ puis que $a=b=c=0 .$ (On rappelle que $\displaystyle{e=\sum _{n=1}^{\infty}\frac{1}{ n!} }.$)