Soient \(a,b,c \in { \Zz}\) tels que : \(ae^2+be+c=0 .\)
1
En appliquant la formule de Taylor sur \([ 0,1]\) à l’application \(\varphi : x \mapsto ae^x+ce^{-x}\) démontrer que, pour tout \(n \in { \Nn}\) il existe \(\theta _n \in ]0,1[\) tel que : \[-b= \frac{ae^{\theta _n} +(-1)^n ce^{-\theta _n}}{ (n+1)!}+\sum _{k=0}^n \frac{a +(-1)^k c}{ k!} .\]
2
En déduire que pour \(n\) assez grand \(ae^{\theta _n} +(-1)^n ce^{-\theta _n}=0\) puis que \(a=b=c=0 .\) (On rappelle que \(\displaystyle{e=\sum _{n=1}^{\infty}\frac{1}{ n!} }.\))