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Soit $P \in \R[X]$ de valuation 1. Démontrer que pour tout entier $n \in \N$, il existe deux polynômes $Q_n$ et $R_n$ uniques tels que :

$$\begin{cases}X = Q_n\circ P + R_n \cr \deg Q_n \le n < \text{v}(R_n).\cr\end{cases}$$

Application : Soit $f : \R \to \R$ bijective telle que $f(x) = a_1x + a_2x^2 + \dots + a_nx^n + o (x^n)$, avec $a_1 \ne 0$. Démontrer que $f^{-1}$ admet un développement limité en $0$ à l’ordre $n$, et donner les deux premiers termes.