1
Soit \(P \in \R[X]\) de valuation 1. Démontrer que pour tout entier \(n \in \N\), il existe deux polynômes \(Q_n\) et \(R_n\) uniques tels que :
\[\begin{cases}X = Q_n\circ P + R_n \cr \deg Q_n \le n < \text{v}(R_n).\cr\end{cases}\]
Application : Soit \(f : \R \to \R\) bijective telle que \(f(x) = a_1x + a_2x^2 + \dots + a_nx^n + o (x^n)\), avec \(a_1 \ne 0\). Démontrer que \(f^{-1}\) admet un développement limité en \(0\) à l’ordre \(n\), et donner les deux premiers termes.