Pour $n$ entier naturel donné, posons $I_n=\left]-\frac{\pi}{2}+n\pi,\frac{\pi}{2}+n\pi\right[$ . Soit $n\in\Nn$ . Pour $x\in I_n$ , posons $f(x)=\tan x-x$ . $f$ est dérivable sur $I_n$ et pour $x$ dans $I_n$ , $f'(x)=\tan^2x$ . Ainsi, $f$ est dérivable sur $I_n$ et $f'$ est strictement positive sur $I_n\setminus\{n\pi\}$ . Donc $f$ est strictement croissante sur $I_n$ .

Soit $n\in\Nn$ . $f$ est continue et strictement croissante sur $I_n$ et réalise donc une bijection de $I_n$ sur $f(I_n)=\Rr$ . En particulier, $\forall n\in\Nn,\;\exists!x_n\in I_n/\;f(x_n)=0$ (ou encore tel que $\tan x_n=x_n$ . On a $x_0=0$ puis pour $n\in\Nn^*$ , $f(n\pi)=-n\pi<0$ et donc, $\forall n\in\Nn^*,\;x_n\in]n\pi,\frac{\pi}{2}+n\pi[$ . En particulier,

$x_n\underset{n\rightarrow+\infty}{=}n\pi+O(1)$ .

Posons alors $y_n=x_n-n\pi$ . $\forall n\in\Nn^*,\;y_n\in\left]0,\frac{\pi}{2}\right[$ . De plus, $\tan(y_n)=\tan(x_n)=n\pi+y_n$ et donc, puisque $y_n\in\left]0,\frac{\pi}{2}\right[$ ,

$\frac{\pi}{2}>y_n=\Arctan(y_n+n\pi)\geq\Arctan(n\pi).$ Puisque $\Arctan(n\pi)$ tend vers $\frac{\pi}{2}$ , on a $y_n=\frac{\pi}{2}+o(1)$ ou encore

$x_n\underset{n\rightarrow+\infty}{=}n\pi+\frac{\pi}{2}+o(1)$ .

Posons maintenant $z_n=y_n-\frac{\pi}{2}=x_n-n\pi-\frac{\pi}{2}$ . D’après ce qui précède, $\forall n\in\Nn^*,\;z_n\in\left]-\frac{\pi}{2},0\right[$ et d’autre part $z_n\underset{n\rightarrow+\infty}{=}o(1)$ . Ensuite, $\tan\left(z_n+\frac{\pi}{2}\right)=n\pi+\frac{\pi}{2}+z_n$ et donc $-\cotan(z_n)=n\pi+\frac{\pi}{2}+z_n\underset{n\rightarrow+\infty}{\sim}n\pi$ . Puisque $z_n$ tend vers $0$ , on en déduit que

$-\frac{1}{z_n}\underset{n\rightarrow+\infty}{\sim}-\cotan(z_n)\underset{n\rightarrow+\infty}{\sim}n\pi$ ,

ou encore $z_n\underset{n\rightarrow+\infty}{=}-\frac{1}{n\pi}+o\left(\frac{1}{n}\right)$ . Ainsi,

$x_n\underset{n\rightarrow+\infty}{=}n\pi+\frac{\pi}{2}-\frac{1}{n\pi}+o\left(\frac{1}{n}\right).$

Posons enfin $t_n=z_n+\frac{1}{n\pi}=x_n-n\pi-\frac{\pi}{2}+\frac{1}{n\pi}$ . On sait que $t_n=o\left(\frac{1}{n}\right)$ et que

$-\cotan\left(t_n-\frac{1}{n\pi}\right)=-\cotan(z_n)=n\pi+\frac{\pi}{2}+z_n=n\pi+\frac{\pi}{2}-\frac{1}{n\pi}+o(\frac{1}{n})$ .

Par suite,

$-\tan\left(t_n-\frac{1}{n\pi}\right)=\frac{1}{n\pi}\left(1+\frac{1}{2n}+o(\frac{1}{n})\right)^{-1}=\frac{1}{n\pi}-\frac{1}{2n^2\pi}+o\left(\frac{1}{n^2}\right),$ puis,

$\frac{1}{n\pi}-t_n=\Arctan\left(\frac{1}{n\pi}-\frac{1}{2n^2\pi}+o(\frac{1}{n^2})\right)=\frac{1}{n\pi}-\frac{1}{2n^2\pi}+o\left(\frac{1}{n^2}\right),$ et donc $t_n=\frac{1}{2n^2\pi}+o\left(\frac{1}{n^2}\right)$ . Finalement,

$x_n\underset{n\rightarrow+\infty}{=}n\pi+\frac{\pi}{2}-\frac{1}{n\pi}+\frac{1}{2n^2\pi}+o\left(\frac{1}{n^2}\right).$

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