Pour \(n\) entier naturel donné, posons \(I_n=\left]-\frac{\pi}{2}+n\pi,\frac{\pi}{2}+n\pi\right[\). Soit \(n\in\Nn\). Pour \(x\in I_n\), posons \(f(x)=\tan x-x\). \(f\) est dérivable sur \(I_n\) et pour \(x\) dans \(I_n\), \(f'(x)=\tan^2x\). Ainsi, \(f\) est dérivable sur \(I_n\) et \(f'\) est strictement positive sur \(I_n\setminus\{n\pi\}\). Donc \(f\) est strictement croissante sur \(I_n\).

Soit \(n\in\Nn\). \(f\) est continue et strictement croissante sur \(I_n\) et réalise donc une bijection de \(I_n\) sur \(f(I_n)=\Rr\). En particulier, \(\forall n\in\Nn,\;\exists!x_n\in I_n/\;f(x_n)=0\) (ou encore tel que \(\tan x_n=x_n\). On a \(x_0=0\) puis pour \(n\in\Nn^*\), \(f(n\pi)=-n\pi<0\) et donc, \(\forall n\in\Nn^*,\;x_n\in]n\pi,\frac{\pi}{2}+n\pi[\). En particulier,

Posons alors \(y_n=x_n-n\pi\). \(\forall n\in\Nn^*,\;y_n\in\left]0,\frac{\pi}{2}\right[\). De plus, \(\tan(y_n)=\tan(x_n)=n\pi+y_n\) et donc, puisque \(y_n\in\left]0,\frac{\pi}{2}\right[\),

\[\frac{\pi}{2}>y_n=\Arctan(y_n+n\pi)\geq\Arctan(n\pi).\] Puisque \(\Arctan(n\pi)\) tend vers \(\frac{\pi}{2}\), on a \(y_n=\frac{\pi}{2}+o(1)\) ou encore

Posons maintenant \(z_n=y_n-\frac{\pi}{2}=x_n-n\pi-\frac{\pi}{2}\). D’après ce qui précède, \(\forall n\in\Nn^*,\;z_n\in\left]-\frac{\pi}{2},0\right[\) et d’autre part \(z_n\underset{n\rightarrow+\infty}{=}o(1)\). Ensuite, \(\tan\left(z_n+\frac{\pi}{2}\right)=n\pi+\frac{\pi}{2}+z_n\) et donc \(-\cotan(z_n)=n\pi+\frac{\pi}{2}+z_n\underset{n\rightarrow+\infty}{\sim}n\pi\). Puisque \(z_n\) tend vers \(0\), on en déduit que

\(-\frac{1}{z_n}\underset{n\rightarrow+\infty}{\sim}-\cotan(z_n)\underset{n\rightarrow+\infty}{\sim}n\pi\),

ou encore \(z_n\underset{n\rightarrow+\infty}{=}-\frac{1}{n\pi}+o\left(\frac{1}{n}\right)\). Ainsi,

Posons enfin \(t_n=z_n+\frac{1}{n\pi}=x_n-n\pi-\frac{\pi}{2}+\frac{1}{n\pi}\). On sait que \(t_n=o\left(\frac{1}{n}\right)\) et que

\(-\cotan\left(t_n-\frac{1}{n\pi}\right)=-\cotan(z_n)=n\pi+\frac{\pi}{2}+z_n=n\pi+\frac{\pi}{2}-\frac{1}{n\pi}+o(\frac{1}{n})\).

Par suite,

\[-\tan\left(t_n-\frac{1}{n\pi}\right)=\frac{1}{n\pi}\left(1+\frac{1}{2n}+o(\frac{1}{n})\right)^{-1}=\frac{1}{n\pi}-\frac{1}{2n^2\pi}+o\left(\frac{1}{n^2}\right),\] puis,

\[\frac{1}{n\pi}-t_n=\Arctan\left(\frac{1}{n\pi}-\frac{1}{2n^2\pi}+o(\frac{1}{n^2})\right)=\frac{1}{n\pi}-\frac{1}{2n^2\pi}+o\left(\frac{1}{n^2}\right),\] et donc \(t_n=\frac{1}{2n^2\pi}+o\left(\frac{1}{n^2}\right)\). Finalement,

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