Commençons en \(x=0\), le dl de \(f(x)=\ln(1+x+x^2)\) à l’ordre \(2\) est \[\ln(1+x+x^2) =(x+x^2)-\frac{(x+x^2)^2}{2} + o(x^2) = x + \frac12 x^2 + o(x^2)\] Par identification avec \(f(x)= f(0)+f'(0)x+f''(0)\frac{x^2}{2!}+o(x^2)\) cela entraîne donc \(f(0)=0\), \(f'(0)=1\) (et \(f''(0)=1\)). L’équation de la tangente est donc \(y=f'(0)(x-0)+f(0)\) donc \(y=x\).

La position par rapport à la tangente correspond à l’étude du signe de \(f(x)-y(x)\) où \(y(x)\) est l’équation de la tangente. \[f(x)-y(x)=x + \frac12 x^2 + o(x^2) \ - \ x = \frac12 x^2 + o(x^2).\]

Ainsi pour \(x\) suffisamment proche de \(0\), \(f(x)-y(x)\) est du signe de \(\frac12 x^2\) et est donc positif. Ainsi dans un voisinage de \(0\) la courbe de \(f\) est au-dessus de la tangente en \(0\).

Même étude en \(x=1\).

Il s’agit donc de faire le dl de \(f(x)\) en \(x=1\). On pose \(x=1+h\) (de sorte que \(h=x-1\) est proche de \(0\)) : \[\begin{align*} f(x)=\ln(1+x+x^2) & = \ln \big(1+ (1+h)+(1+h)^2\big) \\ & = \ln \big(3 + 3h + h^2 \big) \\ & = \ln \left(3 \big(1 + h + \frac{h^2}{3} \big)\right) \\ & = \ln 3 + \ln \big(1 + h + \frac{h^2}{3} \big) \\ & = \ln 3 + \big( h + \frac{h^2}{3} \big) - \frac{\big( h + \frac{h^2}{3} \big)^2}{2} + o\big((h + \frac{h^2}{3})^2 \big) \\ & = \ln 3 + h + \frac{h^2}{3} -\frac{h^2}{2} + o(h^2) \\ & = \ln 3 + h -\frac16 h^2 + o(h^2) \\ & = \ln 3 + (x-1) - \frac16 (x-1)^2 + o((x-1)^2) \\ \end{align*}\]

La tangente en \(x=1\) est d’équation \(y=f'(1)(x-1)+f(1)\) et est donc donnée par le dl à l’ordre \(1\) : c’est \(y = (x-1) + \ln 3\). Et la différence \(f(x)-\big(\ln 3 + (x-1)\big) = - \frac16 (x-1)^2 + o((x-1)^2)\) est négative pour \(x\) proche de \(1\). Donc, dans un voisinage de \(1\), le graphe de \(f\) est en-dessous de la tangente en \(x=1\).

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