Notons \(X\) le résultat d’un tirage d’un entier entre \(0\) et \(9\) à l’aide de ce générateur et \(p=(p_0,\ldots,p_9)\) sa loi. On cherche à tester l’hypothèse \(H_0\) : “\(p\) est la loi \(\mathcal{U}_{\{0,\ldots,9\}}\)” contre l’hypothèse \(H_1\) : “\(p\) n’est pas la loi \(\mathcal{U}_{\{0,\ldots,9\}}\)” au niveau \(5\%\). Notons \(N^{(i)}\) le nombre d’apparitions du chiffre \(i\) sur \(1000\) tirages de chiffres à l’aide de ce générateur et \(Z=\sum_{i=0}^{9}\frac{(N^{(i)}-100)^{2}}{100}\).
On rejette l’hypothèse \(H_0\) au niveau \(5\%\) si la valeur observée \(z_{obs}\) de \(Z\) est telle que \(P_{H_{0}}(Z\geq z_{obs})\leq 0,05\). Comme pour tout \(i\in\{0,\ldots,9\}\), \(1000p_i=100\) est suffisamment grand, on peut approximer la fonction de répartition de la loi de \(Z\) sous \(H_0\) par celle du \(\chi^{2}\) à \(9\) degrés de liberté. Donc, on peut approximer \(P_{H_{0}}(Z\geq z_{obs})\) par \(1-F_{\chi^{2}_{9}}(z_{obs})\). A partir des valeurs observées pour les variables aléatoires \(N^{(i)}\) qui sont données dans le tableau, on obtient \(z_{obs}\simeq 21,86\). D’après la table de valeurs numériques de la loi du \(\chi^2\), \(F_{\chi^{2}_{9}}(z_{obs})\) est compris entre \(0,99\) et \(0,995\). Donc, au niveau \(5\%\), on rejette l’hypothèse \(H_0\). On rejette encore l’hypothèse \(H_0\) au niveau \(1\%\) mais pas au niveau \(0,5\%\).

chiffre	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
nombre d’apparitions	87	103	90	110	81	108	85	123	90	123

exo7 6935