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Décrire l’image d’une droite $y =c$, $c$ étant une constante, par rapport à $f$.

Décrire l’image d’une droite $x =c$, $c$ étant une constante, par rapport à $f$.

Vérifier que la restriction de $f$ au domaine $$W = \{ z = x+iy; |y| < \pi\}$$ est une bijection de $W$ sur $$D=\Bbb C \setminus \{z; z = -x,\ x \in \Bbb R,\ x \geq 0\}.$$

En déduire l’existence d’une fonction complexe unique $\Phi$, avec domaine de définition $D_{\Phi} = D$, de sorte que $$e^{\Phi (z)} = z, \quad |\textrm{Im} \Phi (z)| < \pi.$$ Cette fonction est appelée détermination principale du logarithme, notée Log; en utilisant un peu plus de théorie on montre qu’elle est holomorphe, avec $\textrm{Log}'(z) = \frac 1z$.