Etude de l’exponentielle complexe \(f(z) = e^z\) et du logarithme complexe.
Décrire l’image d’une droite \(y =c\), \(c\) étant une constante, par rapport à \(f\).
Décrire l’image d’une droite \(x =c\), \(c\) étant une constante, par rapport à \(f\).
Vérifier que la restriction de \(f\) au domaine \[W = \{ z = x+iy; |y| < \pi\}\] est une bijection de \(W\) sur \[D=\Bbb C \setminus \{z; z = -x,\ x \in \Bbb R,\ x \geq 0\}.\]
En déduire l’existence d’une fonction complexe unique \(\Phi\), avec domaine de définition \(D_{\Phi} = D\), de sorte que \[e^{\Phi (z)} = z, \quad |\textrm{Im} \Phi (z)| < \pi.\] Cette fonction est appelée détermination principale du logarithme, notée Log; en utilisant un peu plus de théorie on montre qu’elle est holomorphe, avec \(\textrm{Log}'(z) = \frac 1z\).