L3 Analyse complexe Fonction holomorphe 3 questions

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Soit f(z)=∑n⩾0anzn\displaystyle{f(z)=\sum_{n\geqslant 0}a_nz^n} une série entière de rayon de convergence R>0R>0 et telle que a0≠0a_0\neq 0. L’objectif de cet exercice est de démontrer que la fonction 1f\frac{1}{f} est développable en série entière en 00.

1

On suppose que ceci est le cas et que 1f(z)=∑n=0+∞bnzn\displaystyle{\frac{1}{f(z)}=\sum_{n=0}^{+\infty}b_nz^n}. Quelle relation de récurrence vérifie la suite (bn)n∈N(b_n)_{n\in \N}?

2

Soit (bn)n∈N(b_n)_{n\in \N} une suite vérifiant le relation de récurrence précédente. Montrer qu’il existe C>0C>0 tel que pour tout n⩾0n\geqslant 0, on a ∣bn∣⩽Cn∣a0∣.|b_n|\leqslant \frac{C^n}{|a_0|}.

3

En déduire que 1f\frac{1}{f} est développable en série entière en 00.

Exercice gtXg

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