Soit \(\displaystyle{f(z)=\sum_{n\geqslant 0}a_nz^n}\) une série entière de rayon de convergence \(R>0\) et telle que \(a_0\neq 0\). L’objectif de cet exercice est de démontrer que la fonction \(\frac{1}{f}\) est développable en série entière en \(0\).
1
On suppose que ceci est le cas et que \(\displaystyle{\frac{1}{f(z)}=\sum_{n=0}^{+\infty}b_nz^n}\). Quelle relation de récurrence vérifie la suite \((b_n)_{n\in \N}\)?
2
Soit \((b_n)_{n\in \N}\) une suite vérifiant le relation de récurrence précédente. Montrer qu’il existe \(C>0\) tel que pour tout \(n\geqslant 0\), on a \[|b_n|\leqslant \frac{C^n}{|a_0|}.\]
3
En déduire que \(\frac{1}{f}\) est développable en série entière en \(0\).