Écrire en termes d’\(\varepsilon\) et \(\delta\) la définition de la \(\Cc\)-dérivabilité d’une fonction \(f : D\to \Cc\) d’un ouvert \(D\) de \(\Cc\) en un point \(a\) de \(D\).
Soit \(n\) un entier naturel non nul. Soit \(a\) un point de \(\Cc\). Déterminer une fonction \(f_1 : \Cc\to\Cc\) telle que sur \(\Cc\), \[z^n=a^n+(z-a)f_1(z).\] En déduire que l’application \(\Cc\to\Cc\), \(z\mapsto z^n\) est \(\Cc\)-dérivable en \(a\) et déterminer sa dérivée en \(a\).
Démontrer que si \(f\) et \(g\) sont deux applications d’un ouvert \(D\) de \(\Cc\) dans \(\Cc\) qui sont \(\Cc\)-dérivables en \(a\), alors leur produit est \(\Cc\)-dérivable en \(a\). Déterminer alors la dérivée du produit en \(a\) à l’aide des dérivées en \(a\) de \(f\) et de \(g\).
Donner un exemple d’application \(f :\Cc\to\Cc\) continue mais nulle part \(\Cc\)-dérivable.