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Écrire en termes d’$\varepsilon$ et $\delta$ la définition de la $\Cc$-dérivabilité d’une fonction $f : D\to \Cc$ d’un ouvert $D$ de $\Cc$ en un point $a$ de $D$.

Soit $n$ un entier naturel non nul. Soit $a$ un point de $\Cc$. Déterminer une fonction $f_1 : \Cc\to\Cc$ telle que sur $\Cc$, $$z^n=a^n+(z-a)f_1(z).$$ En déduire que l’application $\Cc\to\Cc$, $z\mapsto z^n$ est $\Cc$-dérivable en $a$ et déterminer sa dérivée en $a$.

Démontrer que si $f$ et $g$ sont deux applications d’un ouvert $D$ de $\Cc$ dans $\Cc$ qui sont $\Cc$-dérivables en $a$, alors leur produit est $\Cc$-dérivable en $a$. Déterminer alors la dérivée du produit en $a$ à l’aide des dérivées en $a$ de $f$ et de $g$.

Donner un exemple d’application $f :\Cc\to\Cc$ continue mais nulle part $\Cc$-dérivable.