L3 Analyse complexe Fonction holomorphe 4 questions

exo7 2802

Lorsque zz est complexe les fonctions sin⁡(z)\sin(z), cos⁡(z)\cos(z), sh⁡(z)\sh(z) et ch⁡(z)\ch(z) sont définies par les formules: sin⁡(z)=eiz−e−iz2ish⁡(z)=ez−e−z2cos⁡(z)=eiz+e−iz2ch⁡(z)=ez+e−z2\begin{align*} \sin(z) &= \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}&\qquad \sh(z) &= \frac{e^{z} - e^{-z}}{2} \\ \cos(z) &= \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}&\qquad \ch(z) &= \frac{e^{z} + e^{-z}}{2} \end{align*}

1

Montrer que cos⁡\cos et ch⁡\ch sont des fonctions paires et sin⁡\sin et sh⁡\sh des fonctions impaires et donner leurs représentations comme séries entières. Prouver eiz=cos⁡(z)+isin⁡(z)e^{iz} = \cos(z) + i \sin(z), sin⁡(iz)=ish⁡(z)\sin(iz) = i\sh(z), cos⁡(iz)=ch⁡(z)\cos(iz) = \ch(z), sh⁡(iz)=isin⁡(z)\sh(iz) = i\sin(z), ch⁡(iz)=cos⁡(z)\ch(iz) = \cos(z).

2

Établir les formules: cos⁡(z+w)=cos⁡(z)cos⁡(w)−sin⁡(z)sin⁡(w)\cos(z+w) = \cos(z)\cos(w) - \sin(z)\sin(w) sin⁡(z+w)=sin⁡(z)cos⁡(w)+cos⁡(z)sin⁡(w)\sin(z+w) = \sin(z)\cos(w) + \cos(z)\sin(w) en écrivant de deux manières différentes e±i(z+w)e^{\pm i(z+w)}. Donner une autre preuve en utilisant le principe du prolongement analytique et la validité (admise) des formules pour zz et ww réels.

3

Prouver pour tout zz complexe cos⁡(π+z)=−cos⁡(z)\cos(\pi + z) = -\cos(z), sin⁡(π+z)=−sin⁡(z)\sin(\pi+ z) = -\sin(z). Prouver cos⁡(π2−z)=sin⁡(z)\cos(\frac\pi2 - z) = \sin(z).

4

Prouver les formules cos⁡2z+sin⁡2z=1\cos^2 z + \sin^2 z = 1 et ch⁡2z−sh⁡2z=1\ch^2 z - \sh^2 z = 1 pour tout z∈Cz\in\Cc.

Exercice ZCRS

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