Lorsque \(z\) est complexe les fonctions \(\sin(z)\), \(\cos(z)\), \(\sh(z)\) et \(\ch(z)\) sont définies par les formules: \[\begin{align*} \sin(z) &= \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}&\qquad \sh(z) &= \frac{e^{z} - e^{-z}}{2} \\ \cos(z) &= \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}&\qquad \ch(z) &= \frac{e^{z} + e^{-z}}{2} \end{align*}\]
Montrer que \(\cos\) et \(\ch\) sont des fonctions paires et \(\sin\) et \(\sh\) des fonctions impaires et donner leurs représentations comme séries entières. Prouver \(e^{iz} = \cos(z) + i \sin(z)\), \(\sin(iz) = i\sh(z)\), \(\cos(iz) = \ch(z)\), \(\sh(iz) = i\sin(z)\), \(\ch(iz) = \cos(z)\).
Établir les formules: \[\cos(z+w) = \cos(z)\cos(w) - \sin(z)\sin(w)\] \[\sin(z+w) = \sin(z)\cos(w) + \cos(z)\sin(w)\] en écrivant de deux manières différentes \(e^{\pm i(z+w)}\). Donner une autre preuve en utilisant le principe du prolongement analytique et la validité (admise) des formules pour \(z\) et \(w\) réels.
Prouver pour tout \(z\) complexe \(\cos(\pi + z) = -\cos(z)\), \(\sin(\pi+ z) = -\sin(z)\). Prouver \(\cos(\frac\pi2 - z) = \sin(z)\).
Prouver les formules \(\cos^2 z + \sin^2 z = 1\) et \(\ch^2 z - \sh^2 z = 1\) pour tout \(z\in\Cc\).