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Soit $\sum a_nz^n$ une série entière de rayon $1$ . On pose $s_n=a_0+a_1+\cdots+a_n$ , $t_n={1\over n+1}(s_0+s_1+\cdots+s_n)$ , $u(z)=\sum s_nz^n$ et $v(z)=\sum t_nz^n$ .

Montrer que les rayons de convergence de $u$ et de $v$ sont égaux à $1$ .

Etablir pour tout $|z|<1$ , $u(z)={1\over 1-z}\sum a_nz^n$ . Retrouver ainsi le théorème d’Abel : soit $f(z)=\sum a_nz^n$ une série entière de rayon $1$ , telle que $\sum a_n$ converge vers $A$ . Alors $f(z)$ tend vers $A$ quand $z\to 1$ non tangentiellement.

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