Soit \(\sum a_nz^n\) une série entière de rayon \(1\). On pose \(s_n=a_0+a_1+\cdots+a_n\), \(t_n={1\over n+1}(s_0+s_1+\cdots+s_n)\), \(u(z)=\sum s_nz^n\) et \(v(z)=\sum t_nz^n\).
1
Montrer que les rayons de convergence de \(u\) et de \(v\) sont égaux à \(1\).
2
Etablir pour tout \(|z|<1\), \(u(z)={1\over 1-z}\sum a_nz^n\). Retrouver ainsi le théorème d’Abel : soit \(f(z)=\sum a_nz^n\) une série entière de rayon \(1\), telle que \(\sum a_n\) converge vers \(A\). Alors \(f(z)\) tend vers \(A\) quand \(z\to 1\) non tangentiellement.