Soit \(a\) un réel dans \(]0,1[\). On souhaite calculer l’intégrale \[I_a = \int_0^{+\infty } {x^{a-1} \over 1+x}\,dx\]
Pour cela, on définit une fonction \(f\) sur \(\Omega =\C\setminus [0,+\infty [\) de la manière suivante: \[f(z) = {\exp\left((a-1)\log z\right) \over 1+z}\] où la fonction \(\log\) est définie comme dans l’exercice précédent.
Montrer que \(f\) est méromorphe sur \(\Omega\). Quels en sont les pôles ?
Soit \(\varepsilon\in\left]0,1\right[\) et \(R>1\) deux réels. On considère à présent le chemin \(C\) réunion du segment \([\varepsilon, R]+0i\), du cercle de rayon \(R\), parcouru positivement, du segment \([R, \varepsilon]-0i\) et du cercle de rayon \(\varepsilon\) parcouru négativement. Calculer \(\int_C f(z)\,dz\); en déduire la valeur de \(I_a\).