L3 Analyse complexe Fonction holomorphe 2 questions

exo7 2682

Soit aa un réel dans ]0,1[]0,1[. On souhaite calculer l’intégrale Ia=∫0+∞xa−11+x dxI_a = \int_0^{+\infty } {x^{a-1} \over 1+x}\,dx

Pour cela, on définit une fonction ff sur Ω=C∖[0,+∞[\Omega =\C\setminus [0,+\infty [ de la manière suivante: f(z)=exp⁡((a−1)log⁡z)1+zf(z) = {\exp\left((a-1)\log z\right) \over 1+z} où la fonction log⁡\log est définie comme dans l’exercice précédent.

1

Montrer que ff est méromorphe sur Ω\Omega. Quels en sont les pôles ?

2

Soit ε∈]0,1[\varepsilon\in\left]0,1\right[ et R>1R>1 deux réels. On considère à présent le chemin CC réunion du segment [ε,R]+0i[\varepsilon, R]+0i, du cercle de rayon RR, parcouru positivement, du segment [R,ε]−0i[R, \varepsilon]-0i et du cercle de rayon ε\varepsilon parcouru négativement. Calculer ∫Cf(z) dz\int_C f(z)\,dz; en déduire la valeur de IaI_a.

Exercice oQqn

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