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Soit $(u_n)_{n\ge 0}$ et $(v_n)_{n\ge 0}$ deux suites de réels. Etablir les propositions suivantes : $$\limsup_{n\to\infty} \left( u_n+v_n\right)\le\limsup_{n\to\infty}u_n+ \limsup_{n\to\infty}v_n\ ;$$ $$\left(\forall n\ge n_0, u_n\le v_n\right)\Rightarrow\limsup_{n\to\infty}u_n\le \limsup_{n\to\infty}v_n.$$ Donner l’exemple de deux suites pour lesquelles la première inégalité est stricte.