Discutons d’abord le rayon de convergence. D’ailleurs, ce qui suit s’applique également aux exercices suivants. Donc, d’après le théorème d’analycité des fonctions holomoephes (voir le polycopié 2005/2006 de J.-F. Burnol : théorème 10 du chapitre 6), si \(f\) est holomorphe dans \(U\subset \C\), si \(z_0\in U\) et si \(r>0\) tel que \(D(z_0,r)\subset U\), alors la série de Taylor de \(f\) en \(z_0\) converge et sa somme vaut \(f\) dans ce disque \(D(z_0,r)\). Ici \(f(z)=\frac{1}{z-1}\). Cette fonction est holomorphe dans \(U=\C\setminus \{1\}\). Par conséquent, si \(z_0\in U\), alors la série de Taylor de \(f\) en \(z_0\) vaut \(f\) dans le disque \(D(z_0,R_1)\) si \(R_1=|z_0-1|\). Le calcul de la série est classique: \[\frac{1}{z-1}=\frac{1}{z-z_0+z_0-1} =\frac{1}{z_0-1}\frac{1}{1-\left(\frac{z_0-z}{z_0-1}\right)} =\frac{1}{z_0-1}\sum_{k\geq 0} \left(\frac{z_0-z}{z_0-1}\right)^k\] pour \(|z-z_0|< |z_0-1|=R_1\).

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