Discutons d’abord le rayon de convergence. D’ailleurs, ce qui suit s’applique également aux exercices suivants. Donc, d’après le théorème d’analycité des fonctions holomoephes (voir le polycopié 2005/2006 de J.-F. Burnol : théorème 10 du chapitre 6), si $f$ est holomorphe dans $U\subset \C$ , si $z_0\in U$ et si $r>0$ tel que $D(z_0,r)\subset U$ , alors la série de Taylor de $f$ en $z_0$ converge et sa somme vaut $f$ dans ce disque $D(z_0,r)$ . Ici $f(z)=\frac{1}{z-1}$ . Cette fonction est holomorphe dans $U=\C\setminus \{1\}$ . Par conséquent, si $z_0\in U$ , alors la série de Taylor de $f$ en $z_0$ vaut $f$ dans le disque $D(z_0,R_1)$ si $R_1=|z_0-1|$ . Le calcul de la série est classique: $\frac{1}{z-1}=\frac{1}{z-z_0+z_0-1} =\frac{1}{z_0-1}\frac{1}{1-\left(\frac{z_0-z}{z_0-1}\right)} =\frac{1}{z_0-1}\sum_{k\geq 0} \left(\frac{z_0-z}{z_0-1}\right)^k$ pour $|z-z_0|< |z_0-1|=R_1$ .

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